250 ENESTRÖM, INTEGRALEN TILL EN DIFF.EaV. AF N:TE ORDNINGEN. 



/i,u, _ 1 = -^u, = I ^-(-1) + ~^ r'" 



= Jp-hin — Jp-Hin^ .. . + (— l)?'-i?o, +(— l)^«/,-i. 



Vi behöfva nämligen här blott sätta p = 1, 2, 3, . . ., n och 

 substituera de sålunda erhållna värdena i eqvationen (2) för att 

 omedelbart erhålla eqvationen (3). 



Man har således bevisat att i</,_i kan uttryckas i de n gifna 

 värdena c^, c^, Co, . . ., 6'„_i. Det är nu lätt att bevisa, det samma 

 förhållande gäller för M/i_2. Ty om i eqvationen (4) h — 1 

 sättes i stället för h, blir 



r<A_2 = 4'iß — 1, ^th-i, -'-/ma-1, • • •, J"-'^tih-i)- 

 Men af den föregående bevisföringen följer, att icke blott Uh—i 

 utan äfven z/'(a_i, . . ., z/"~%ä-i kunna uttryckas såsom funk- 

 tioner af M;„ Ju,i, . . ., ./"— ^M/i, och att således 



På alldeles samma sätt kan man bevisa att 

 och i allmänhet 



hvarmed satsen sålunda är bevisad och den framstälda frågan 

 jakande besvarad för hvarje värde af r. 



3. I formelt hänseende kan man mot denna bevisföring an- 

 märka, att metoderna för de två fallen ?• > O och r < O äro 

 betydligt olika, men denna olägenhet torde ej kunna undvikas, 

 så länge man utgår frän den af BoOLE angifna eqv. (1). Er- 

 sätter man deiemot differenserna med de successiva värdena, 

 d. v. s. låter den gifna eqvationen vara 



och låter it,^, un + i-, ■ • ••, '«a + w-i hafva på förhand bestämda värden, 

 så kan beviset för satsen föras mycket enklare. För r ^ ?i sätter 

 man nämligen denna eqv. under formen 



(5) Ma;xn = Fi('X, U^, . . .,U^ + n-\) 



