ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANULINGAR 18 86, N:olO. 359 



och alltså erhålles af eqv. (17) 



(18) lim (— log xY y c„.t'"' = c|é-2'?/«rf?/ = Cr(a + 1). 



n = l O 



Emedan 



log Ä? , 



hm -^ — ^- = 1 , 



.r = 1 i .V 



så erhålles af eqv. (18) 



» = 00 



(19) lim (1 — a;y N c„^™* = Cr(a + 1) , 



»1 = 1 

 och alltså enligt eqv. (5) 



(20) lim (1 - .^)« V Cno^-" = r(a + 1) lim ^i + ^-2 + ^3 + - • • + <^n ^ 



a; = 1 ^^^J n = CO ** 



w = 1 



hvarmed följande teorem är bevisadt: 



Teorem. Om a och b äro positiva"; qvantiteter, och 

 c^, c^, c^, . . . äro ett oändligt antal reela qvantiteter, och om 

 vidare .v är en positiv qvantitet, som är mindre än 1, så är 



n — <x > 



lim (1 - .^)« V c„x-' = r(a + 1) lim ^i + ^2 +^ • • • + ^^ ^ 



a; = 1 J^^ 71 = 00 ^i 



« = 1 



om nämligen det högra membrum är en bestämd ändlig qvantitet. 



§ 2. 



Om vi med g och m beteckna hela positiva tal, samt i 



eqv. (20) ersätta qvantiteterna 



iT, a, b, c 

 med 



m 

 så finna vi 



n = 00 



(21) lim (1 — a;^)"^ \ .r^"'" ^ r| 1 + — i 



n = 1 



