46 BRÖDEN, COINCIDENZEN IN ZWEIDEUTIGEN CORRESPONDENZEN. 



diesen Satz nebst einigen Bemerkungen darüber vorzulegen, um 

 in einem zweiten Aufsatze die Anwendung auf Curven vom Ge- 

 schlechte 1 nebst Bemerkungen über die Verwerthung elliptischer 

 Functionen und über die Darstellung mehrdeutiger Correspon- 

 denzen folgen zu lassen. 



2. Eine beliebige Gleichung der Form 



( 1) c^y 1 + 2xy(a 3 x + b 3 y) + a 2 x 2 + b 2 y- + 2c 2 xy + 2a x x + 2b x y + c =0 



giebt eine (2,2)-deutige Correspondenz zwischen x und y, also 

 eine solche Correspondenz auf einer Gerade, wenn x und y den 

 verschiedenen Punkten als Abscissen entsprechen. Es giebt ge- 

 wisse x, für welche die zwei entsprechenden y zusammenfallen, 

 und ebenso gewisse y, welche zusammenfallende x geben. Jene 

 sind durch die Gleichung 



(2) (a 3 x 2 + c 2 x + &,)' 2 = (c^x 2 + 2b 3 x + b 2 )(a 2 x 2 + 2a x x + c ) = 

 bestimmt, diese durch 



(3) (hf + c iy + °i) 2 = ( c *f + " lc hy + « 2 )(% 2 + 2l) iV + c o) = °- 



Wenn die Correspondenz symmetrisch ist, d. h. für 



(4) 6 3 = a 3 , b 2 — a 2 , b x = a x 



sind die Gleichungen (2) und (3) mit einander identisch, und 

 also fallen die kritischen y mit den kritischen x zusammen. Es 

 gilt nun auch umgekehrt, dass wenn die kritischen Elemente in 

 beiden Systemen dieselben sind, so ist die Correspondenz symme- 

 trisch, jedoch mit Ausnahme gewisser Fälle, da die 4 kritischen 

 Werthe ein harmonisches oder cequianharmonisches System bilden, 

 und ausserdem gewisser Fälle, da sie nicht sämmtlich getrennt 

 liegen. (Im letzten Falle sind übrigens nicht immer alle Coinci- 

 denzen im gewöhnlichen Sinne »kritisch».) 



Dieser in mehreren Hinsichten bemerkenswerthe Satz ist von 

 E. Weyr ausgesprochen worden, J ) aber in fehlerhafter Form 

 (die Ausnahmefälle sind ganz ausser Acht gelassen); und einen 

 korrekten Beweis des Satzes hat Weyr gar nicht gegeben. 



') Wbyk, Über einen Correspondenzsatz, Wiener Ber. Bd. 87, Abth. II, p. 592. 



