ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 9 3, N:0 1. 47 



Ein einfacher analytischer Beweis lässt sich folgenderinassen 

 führen. 



Die Gleichung (2) ist, nach .i'-Dignitäten geordnet, 



(ei 2 , — a 2 c 4 )#* j] 



+ 2(a 3 c' 2 — a^n — a 2 b 3 )x 3 |! 



(5) + {c\ — a 2 b 2 — c c i + 2a z b l — 4a 1 & 3 )# 2 J = 



+ 2(6^0 — b 3 c — a^b 2 )x 



+ (l\ — ^o) 



Aus den Coefficienten dieser Gleichung bekommt man die ent- 

 sprechenden von (3) durch Vertauschung von a und b. Unserer 

 Voraussetzung gemäss sollen die Coefficienten der beiden Glei- 

 chungen einander proportional sein. Und wir haben zu zeigen, 

 dass diese Proportionalität, mit den erwähnten Ausnahmen, zu 

 nichts anderes als den Symmetriebedingungen führt. Die Propor- 

 tionalitätsgleichungen unmittelbar anzugreifen würde zu sehr aus- 

 führliche Rechnungen führen. Aber durch eine geeignete lineare 

 Substitution 



m * = p ^ +q y = p,] + q 



(b) ' l ~ r§ + s ' V r n + s 



(welche offenbar die gemachte Voraussetzung und die Symmetrie 

 resp. Dissymmetrie nicht stört) kann man eine wesentliche Verein- 

 fachung gewinnen. Man könnte sich denken, dass durch eine 

 solche Substitution 2 der 4 kritischen Werthe resp. und <=o 

 geworden wären, was immer möglich ist (obgleich nicht immer 

 durch reele Substitutionen) wenn nur 2 jener Werthe verschieden 

 sind. Noch vortheilhafter ist es doch anzunehmen, dass ein kri- 

 tischer Werth = co und die Summe der endlichen = ist, was 

 auch immer durch eine reele oder imaginäre Substitution zu 

 erreichen ist. Wir haben dann (im Allgemeinen) 



(7) a\ — a 2 C4 = b\ — 6 2 c 4 == 0, 



(8) c 2 2 — a 2 b 2 — c Q c i + 2a. i b 1 — 4<7,& 3 — 0, 



(9) Cg — a 2 b 2 — CqG^ -f 2a v b 3 — 4 : a 3 b l = 0, 



