50 BRODÉN, COINCIDENZEN IN ZWEIDEUTIGEN COKRESPONDENZEN. 



(29) «i=-U^7o- ^ = -i 2 «2- 



"2 



Die ^-Gleichung wird also 



(30) t n w + <* 2 (x + foW-y 2 &y-j r ^Yl(x+py)+y\==ü, 



und die endlichen kritischen Werthe sind Wurzeln der Gleichung 

 (31) aa i7 ^+fy 2 Q =0. 



Man findet leicht, dass dieser Fall nicht für reele Werthe der 

 Coefficienten in (i) stattfinden kann. Da k imaginär ist, können 

 in (30) nicht sämmtliche Coefficienten reel sein, was auch aus 

 der Form der Gleichung leicht ersichtlich ist. Es ist auch nicht 

 möglich durch eine imaginäre lineare Substitution Realität hervor- 

 zubringen. Denn reele Coefficienten in (1) und imaginäre Dop- 

 pelverhältnisse der kritischen Punkte setzen nämlich voraus, 

 dass von den kritischen Punkten zwei reel und zwei imaginär 

 sind: vier imaginäre, paarweise konjugirte Grössen geben nämlich 

 reele Doppelverhältnisse. Wenn aber zwei der kritichen Werthe 

 reel, und zwei konjugirt imaginär sind, kann man immer durch 

 eine reele Substitution die oben betrachtete Specializirung ge- 

 winnen: man braucht nur so zu transformiren, dass ein reeler 

 Werth zu co übergeht. Dadurch ist die Sache erwiesen. — Das- 

 selbe folgt auch daraus, dass in der That k bei jeder linearen 

 Substitution unverändert bleibt (s. unten). 



Wenn drittens in (16) der links und rechts eingeklam- 

 merte Ausdruck verschwindet, in welchem Falle drei der kritischen 

 Werthe zusammenfallen (unendlich werden), geben (17), (18) 



k = — = -| = 1 und Symmetrie. 

 «2 a 2 



Wir haben sodann die 3 oben ausgenommenen Fälle: a 2 —b 2 =0, 

 c A = 0, a 2 = ctj = zu betrachten. 



Im Falle a 2 = b 2 = hat man nach (13) auch a 2 = b 3 = 0, 

 und nach (15) c 2 = y 4 y (oder — y 4 y )- Aus (10), (11), (12) 



