52 BRÖDEN, COINCIDENZEN IN ZWEIDEUTIGEN CORRESPONDENZEN. 



Mit Ausnahme von den Fallen (25), (38), (39) haben wir 

 bisher von solchen Fällen abgesehen, da mehr als eine der 3 

 Gleichungen (10), (11), (12) unabhängig von k befriedigt ist. 

 Man bekommt dann ähnliche Ausnahmeverhältnisse (mit 3 zu- 

 sammenfallenden kritischen Werthen). 



Übrigens bemerke man, dass die Gleichungen (7) — (12) nicht 

 den Fall einschliessen, da die kritischen Punkte zwei und zwei 

 zusammenfallen. Dies setzt in der That voraus, dass die Glei- 

 chung (1) in zwei rationalen Factoren zerfällt, aber nicht dass sie 

 symmetrisch ist (man kann, um dies zu finden, die zwei getrenn- 

 ten kritischen Punkte zu und oo transformirt annehmen). Da- 

 gegen zeigt die vorige Untersuchung, dass Symmetrie stattfinden 

 muss, wenn nur zwei der kritischen Punkte zusammenfallen, oder 

 m. a. W. : wenn die Curve (1) einen endlichen Doppelpunkt be- 

 sitzt, und wenn die 2 im eigentlichen Sinne »kritischen» Werthe 

 dieselben sind für x und für y, so ist die Curve zur Linie y = x 

 symmetrisch. 



3. Die Theorie der Transformation elliptischer Functionen 

 (welche ja eigentlich eine rein algebraische Theorie ist) liefert 

 eine Bestätigung von einem Theile der obigen Resultate. Die 

 Gleichung (1) können wir kurz 



(40) L(x)y 2 + 2M(x)y + N(x)=Ö oder L x {y)x 2 + 2M 1 (y)x + N^(y)=0 

 schreiben. Durch Differentiation folgt 



/iiN dx dy n 



(41) + * = . 



]/M\x)-L{x)N(x) iM^-L^N^y) 

 Unsere Annahme ist aber nichts anderes, als dass die Gleichung 



(42) M\x) — L(a) N(x) = k\_M\(x) — L x (x)N, (x)] 

 identisch stattfinden soll, oder m. a. W. dass (41) die Form 



(43) -J^-J^o 

 VkRQn) ]/R(y) 



haben soll, wo R(x) und R(y) Polynomen 4:ten (oder nied- 

 rigeren) Grades mit denselben Coefficienten sind. Wir können 



