54 BRÖDEN, COINCIDENZEN IN ZWEIDEUTIGEN CORRESPONDENZEN. 



Kegelschnitt. Die Beweisführung ist in mehreren Hinsichten ver- 

 fehlt; aber anderseits ist es wahr, dass man das soeben erwähnte 

 Theorem benutzen kann um den Haupttheil unseres Satzes (dass 

 im Allgemeinen Symmetrie stattfinden muss) zu beweisen. Dies 

 mag hier kurz angedeutet werden. 



Wenn eine beliebige Gleichung von der Form (1) gegeben 

 ist, kann man durch eine nur auf x ausgeführte lineare Sub- 

 stitution, m. a. W. durch eine Substitution 



(46) x = p ^r~ S 'y = ri 



Symmetrie hervorrufen. Diese fordert die Erfüllung von 3 Be- 

 dingungen, also eben so viele als die Constanten in (46); und 

 eine nähere Untersuchung zeigt, dass für jene Constanten 4 an- 

 nehmbare Werthsysteme existiren. l ) Da nun die lineare Sub- 

 stitution die Doppelverhältnisse unverändert lässt, und anderseits 

 bei Symmetrie kritische Punkte mit kritischen Punkten, und 

 Doppelpunkte mit Doppelpunkten zusammenfallen, so ist das 

 Theorem richtig. Wenn man ferner annimmt, dass die 4 kri- 

 tischen Punkte 6 verschiedene Doppelverhältnisse geben, so kann 

 die eine Gruppe von 4 Punkten offenbar auf \ • 24 = 4 ver- 

 schiedene Weisen in projectivischer Beziehung zur anderen gesetzt 

 werden; diese 4 Transformationen müssen dieselben sein wie 

 diejenigen, welche die zweideutige Correspondenz symmetrisch 

 machen und dadurch die zwei Gruppen zum Zusammenfallen 

 bringen. In dem speciellen Falle, da schon bei der gegebenen 

 Correspondenz die zwei Gruppen kritischer Werthe zusammen- 

 fallen, reducirt sich eine der 4 zwischen diesen Gruppen mög- 

 lichen linearen Relationen ganz einfach zu einer »Identität» 

 (y=x); also ist auch eine der Substitutionen, durch welche die 



') Die betreffenden Gleichungen geben 8 Systeme. Weyr sucht in »Beiträge 

 zur Curvenlehre», Wien 1880, p. 34, 35 zu erMären, wie diese 8 zu 4 we- 

 sentlich verschiedenen sich reduciren. Diese Erklärung ist aber fehlerhaft 

 (und sogar unbegreiflich); die richtige Erklärung ist, dass 4 der 8 Werth- 

 systeme die Snbstitutionsdeterminante ps — qr = machen und also unmög- 

 lich sind. 



