ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 189 3, N:0 1. 55 



Correspondenz symmetrisch wird, eine identische (x == f , y == /;), 

 das heisst: die Correspondenz ist schon symmetrisch. Wenn 

 aber die 4 kritischen Werthe weniger als 6 Doppelverhältnisse 

 geben, sind die zwischen den beiden Gruppen möglichen Projec- 

 tivitäten mehr als 4, und folglich ist nicht jede entsprechende 

 Substitution symmetriebringend. Speciell giebt also bei Zusammen- 

 fallen der beiden Gruppen die Substitution x — £?, y = iq nicht 

 nothwendig Symmetrie, d. h. die gegebene Correspondenz ist nicht 

 nothwendig symmetrisch. Wenn die 4 fraglichen Punkte alle 

 getrennt sind, kann dieser Ausnahmefall nur für harmonische 

 und sequianharmonische Gruppen eintreffen; die Anzahl der ver- 

 schiedenen Doppelverhältnisse ist für solche Gruppen resp. 3 

 und 2, die möglichen Projectivitäten resp. \ -24 = 8 und \ • 24=12. 

 Dass in diesen Fällen Dissymmetrie wirklich stattfinden kann, 

 haben wir oben gesehen. 



5. Endlich mag auch angedeutet werden, dass man (anstatt 

 mit W T EYlt für den Beweis des fraglichen Satzes einen Kegel- 

 schnitt zu Hülfe zu nehmen) umgekehrt durch Anwendung un- 

 seres Satzes gewisse Sätze über Kegelschnitte und andere Curven 

 bekommen kann. 



Man denke sich eine (2,2)-deutige Correspondenz auf einen 

 Kegelschnitt (C 2 ) verlegt und jeden Punkt mit seinen entspre- 

 chenden durch Geraden verbunden. Diese Geraden enveloppiren 

 eine Curve 4:ter oder 2:ter Classe, je nachdem die Correspon- 

 denz unsymmetrisch oder symmetrisch ist. Im vorigen Falle 

 werden die kritischen Punkte (wie auch im letzten) Schnittpunkte 

 zwischen C 2 und der Enveloppe {E)\ es lässt sich nämlich leicht 

 zeigen, dass die zweite Möglichkeit — den krit, Punkten ent- 

 sprechende i^-Inflexionen — hier nicht stattfinden kann. Wenn 

 nun die kritischen Punkte in beiden Systemen dieselben sind 

 und alle getrennt liegen, so müssen diese 4 Punkte Doppelpunkte 

 für E sein. Ferner giebt es 2 Punktepaare, welche sich symme- 

 trisch verhalten (»involutorische Punktepaare»); *) diese müssen 



] ) S. z. B. Weyr, Beiträge zur Curvenlehre p. 5. 



