56 BRÖDEN, COINCIDENZEN IN ZWEIDEUTIGEN CORRESPONDENZEN. 



Doppeltangenten zu E geben; E ist also vom Geschlechte 1 und 

 von der Ordnung 8. Endlich giebt es 4 selbstentsprechende 

 Punkte; diese müssen gemeinsame Tangenten für C 2 und E geben, 

 und umgekehrt; folglich müssen die 8 gemeinsamen Tangenten 

 derart zusammenfallen, dass es nur 4 getrennte giebt; anderseits 

 darf, abgesehen von den 4 Doppelpunkten, kein Schnitt ohne 

 Contact vorkommen, und man soll in alles 16 Schnittpunkte 

 haben; hieraus folgt, dass E in 4 Punkten C 2 einfach berühren 

 muss (die gemeinsamen Tang. 2 und 2 coincidiren). Wenn um- 

 gekehrt eine Curve 4:ter Classe alle diese Bedingungen erfüllt, so 

 bestimmt sie durch ihre Tangenten auf C 2 eine (2,2)-deutige un- 

 symmetrische Correspondenz mit coincidirenden kritischen Punk- 

 ten; denn von den zwei übrigen Möglichkeiten — (4,4)-deutige 

 symmetrische Corr. und (l,3)-deutige Corr. — ist diese offenbar 

 ausgeschlossen, und ebenso jene wegen zu kleiner Anzahl der 

 kritischen Punkte. Also bekommen wir den Satz: 



Wenn ein Kegelschnitt durch 4 Doppelpunkte einer Curve 

 alter Classe mit 2 Doppeltangenten geht und ausserdem diese 

 Curve in 4 Punkten berührt, so müssen die Doppelpunkte auf 

 dem Kegelschnitte ein harmonisches oder osquianharmonisches 

 System bilden (das letztere kann aber nicht vorkommen, wenn 

 beide Curven reel sind). 



Und reciprok: Wenn ein Kegelschnitt 4 Doppeltang enten 

 einer Curve 4:ter Ordnung mit 2 Doppelpunkten berührt und 

 ausserdem diese Curve selbst in 4 Punkten berührt, so müssen 

 die 4 Doppeltang enten als Kegelschnittstangenten betrachtet ein 

 harmonisches {oder osquianharmonisches) System bilden. 



Und 4 harm. (sequianh.) C 2 -Punkte sind immer Doppel- 

 punkte für (oo 1 ) 4-fach berührende Curven 4:ter Classe, u. 

 reciprok (s. pag. 52, 53). 



Wenn man anstatt des Kegelschnittes eine andere rationale 

 Curve benutzt, oder wenn man correspondirende Punkte anstatt 

 durch Geraden z. B. durch Kegelschnitte mit 3 festen Punkten 

 verbindet, gehen analoge Sätze hervor. 



