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Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, 1898. N:o 3. 



Stockholm. 



Ueber Correspondenzen auf elliptischen Cürven. 

 Von T. Bröden. 



[Mitgeteilt den 8. März 1893 durch A. Lindstedt.] 



1. Ich gestatte mir hiermit einige in einem früheren Auf- 

 satze (Öfversigt etc. 1893 p. 45) angedeuteten Auseinandersetz- 

 ungen über Correspondenzen auf elliptischen Curven vorzulegen. 



Auf einer algebraischen Curve besteht eine eindeutige Corre- 

 spondenz, wenn die Coordinaten eines Punktes (x x , y x ) rationale 

 Functionen von denjenigen eines Punktes (,v, y) sind, und um- 

 gekehrt. Durch projectivische Transformation kann man immer 

 bewirken, dass die Curve durch die co-Punkte der Coord.-Axen 

 geht. Die Gleichung einer Curve 3:ter Ordnung vom Geschlechte 



1 (C 3 ) wird dann vom 2:ten Grade in x und in y. Man hat also 



%)F(x, y) = 2xy(A 3 x + B 3 y) + A^-i- B 2 f- + 2&jcy + 2A x x+2B x y +C =0, 

 (2) F(x x , 2/! )=2^ 1 (^ 1 + B 3 y x )+ A^\ + B. 2 yj + 2C\x x y x + 2A x x x + 2B x y x + C o =0 , 

 (3) x x = B x (x , y) , (4) y x = Ä a (* , y) , 



(5) x = R 3 (z x , y x ), (6) y = E 1f (a li y x ) . 



Wir stellen uns nun die Frage, auf welche Weisen eine so 

 bestimmte Correspondenz zu einer Relation zwischen x und x x , 

 also zu einer Correspondenz in einem rationalen Gebiete sich 

 reduciren kann. Jeder #-Werth giebt zufolge (1) 2 y, folglich 



2 Paare (x, y), und also zufolge (3) zwei oder ausnahmweise 

 nur einen x x . Dasselbe gilt, wenn man x und x 1 vertauscht. 

 Hieraus folgt, dass zwischen x und x x eine Relation der Form 



(7) t; 4 Äf + 2xx x {a 3 x + b 3 x x ) + a 2 x 2 + b 2 x\ + 262^ + 2a x x + 2b x y + c = 



