214 BRODÉN, UEBER CORRESPONDENZEN AUF ELLIPTISCHEN CURVEN. 



stattfinden muss, welche durch Elimination von y zwischen (1) 

 und (3) oder von y x zwischen (2) und (5) zu bekommen ist. 

 Weil x x , y x eindeutige Functionen von x, y sind, müssen, wenn 

 man von einem Punkte .?; in der complexen A'-Ebene mit einem 

 gewissen y (und also auch bestimmten x x und y x ) ausgeht und 

 ienen geschlossenen Weg beschreibt, welcher das ursprüngliche y 

 zurückgiebt, auch die ursprünglichen x x und y x unverändert blei- 

 ben. Hieraus folgt, dass x x als Function von x keine andere 

 »kritische Punkte» haben kann, als y. Ebenso kann x als Func- 

 tion von x x keine kritische Punkte haben, welche nicht auch 

 für y x als F. v. x x kritisch sind. Aber die kritischen Punkte 

 für y und y x als Functionen von x resp. x x sind dieselben, näm- 

 lich die 4 Abscissen (k x , k 2 , k 3 , & 4 ), welche den zur Ordinatenaxe 

 parallelen C 3 -Tangenten entsprechen. 



Anderseits giebt eine Relation der Form (7) im allgemeinen 

 je 4 kritische Punkte für x und x x . Wenn dies in unserem 

 Falle wirklich stattfindet, müssen also jene 2 Gruppen von 4 

 Punkten mit einander und mit k x , k 2 , k s , k i zusammenfallen. 

 Im allgemeinen muss dann (7) in x und x x symmetrisch sein 

 (Öfversigt etc. 1893 p. 46). Nur wenn die 4 k ein harmonisches 

 oder eequian harmonisches System bilden, kann (7) andere Formen 

 haben (1. c. p. 49, 50). 



Ferner ist es in unserem Pralle nicht möglich, dass x x we- 

 niger als 4 getrennte kritische Punkte hat, mit Ausnahme nur 

 für gewisse Fälle, da x x nur im ersten Grade in (7) eingeht 

 und folglich gar keine kritische Punkte besitzt. Wenn nämlich 

 z. B. k x nicht für x x kritisch wäre, würde man durch einen 

 Umgang um k x {x, y) in (x, y) überführen können, ohne x x zu 

 vertauschen. Hierbei könnte aber nicht auch y x unverändert 

 bleiben, weil in diesem Falle y nothwendig durch eine in ratio- 

 nalen Factoren nicht zerlegbare Gleichung cp (y, x x , y x ) = 

 vom 2:ten Grade in y mit x x , y x verbunden wäre, was mit (6) 

 nicht vereinbar ist. Wenn aber gleichzeitig y in y und y x in y x 

 übergeht, während x und x x unverändert bleiben, so müssen zu- 

 folge (1), (3) und (2), (5) x und x x eindeutige, also lineare 



