218 BRODÉX, UEBER CORRESPONDENZEN AUF ELLIPTISCHEN CURVEN. 



Hieraus folgt, dass die P-St.-Corr. eindeutig ist: wäre sie 2- 

 deutig, würde dies bedeuten, dass die »Curve» (7) einen end- 

 lichen Doppelpunkt (mit x l ^=x) hätte und also rational wäre, 

 was unmöglich ist, da ja 4 getrennte kritische Strahlen existiren 

 müssen. Weil also die St.-Corr. immer eindeutig ist, kann die 

 C-j-Corr. keine Doppelpunkte haben; wenn nämlich P der Tan- 

 gentialpunkt eines Doppelpunktes d wäre, so müsste ja Pd 

 (s. oben) mit einer anderen Tangente correspondiren, und also å 

 nicht sich selbst entsprechen können. Da folglich jede ein- 

 deutige, symmetrische (7 3 -Corr., welche Doppelpunkte hat, noth- 

 wendig central ist, muss dies auch für die Corr. (AC) gelten, 

 welche die Doppelpunkte rf, und å. 2 hat. Hieraus folgt endlich, 

 dass die Tangenten in c) 1 und ö 2 sich auf C 3 schneiden, nämlich 

 im Centrum der Corr. (AC). Da man ferner durch Bewegung 

 von P statt d x und d 2 einen beliebigen Punktepaar der Corr. 

 (AD) bekommen kann, können wir diese Corr. dadurch charak- 

 terisiren, dass 2 entsprechende Punkte denselben Tangentialpunkt 

 haben; sie heisse kurz die Tangentialcorrespondenz. Es giebt 

 überhaupt 3 solche, den Tabellenfällen (2), (3), (4) entsprechend. 

 Sie sind von je einem Punktepaare eindeutig bestimmt. Die 

 Eigenschaft, nur eindeutige St.-Corr. zu geben, kann auch so 

 ausgedrückt werden: wenn 2 entsprechende Punkte M und M 1 

 gegeben sind, kann man den mit einem beliebigen N correspon- 

 direnden A\ so bekommen: ziehe die Gerade MN; sie schneide 

 C 3 im 3:ten Punkte P; ziehe PM X ; sie schneidet C 3 in N x . 



Die erwähnten C 3 -Corr. sind, dem Vorigen zufolge, die ein- 

 zigen symmetrischen. In Betreff der centralen haben wir noch 

 zu untersuchen, von welchen Punkten (P) aus eine solche als 

 eindeutige (nicht identische) St.-Corr. erscheint. Eine hinreichende 

 Bedingung ist. dass P in gerader Linie liegt mit 2 C 2 -Punkten, 

 für welche das Centrum (0) gemeinschaftlicher Tangentialpunkt 

 ist (s. oben). Diese Bedingung ist auch nothwendig. Es gehe 

 nämlich die Tangente in R durch O, PR schneide C s im 3:ten 

 Punkte S, OS in T. Ein unendlich nahe an PR gelegter Strahl 

 (durch P) correspondirt dann offenbar einerseits mit einem an- 



