220 BRODÉN, LEBER CORRESPOXDENZEX AUF ELLIPTISCHEN CURVEX. 



tionen (AF), (BE), (AE), (BF) die 2 ersten symmetrische, die 

 2 letzten unsymmetrische Beziehungen geben, oder umgekehrt, 

 und da ja in der That (BE) Symmetrie giebt, so folgen für 

 die Corr. (AD), (AE), (AF) die Verkeilungen: 2) (AD), (BF); 

 3) (AE), (BC); 4) (AF), (BD). Die Fälle (2), (3) müssen 

 offenbar in der That dieselbe Corr. geben, nur in umgekehrter 

 Ordnung: A und B geben als »primäre» Punkte (u , v) die 

 »secundären» D, F (u, v), aber als secundäre (o', o') die pri- 

 mären E, C (q, o). Wir bemerken dass die Strahlen av' und 

 u'v sich auf C 3 (in 0) schneiden. Da ferner alles sich ähnlich 

 gestaltet, wo man auch O verlegt, bekommen wir für die un- 

 symmetrischen Correspondenzen ganz dieselbe Construction, welche 

 wir oben für die »Tangentialcorrespondenz» gefunden haben. Zwei 

 entspr. Punkte ( t u primär, /u' secundär) bestimmen also eindeutig 

 eine unsymmetrische Corr., mit Ausnahme für den Fall, da u 

 und u' denselben Tangentialpunkt haben. 



3. Wir wenden uns nun zu den harmonischen Curven und 

 den Correspondenzen, welche auf denselben (nebst den immer 

 existirenden) möglich sind. Wenn O im co- Punkte der y-Axe 

 liegt, muss ja die entsprechende Gleichung (7) entweder in x 

 und in x x zweideutig sein, für x und für x x die kritischen 

 Werthe k x , k 2 , k 3 < k 4 geben, aber unsymmetrisch sein, oder eine 

 lineare Relation sein, welche einem der 4 Fälle 5) bis 8) in der 

 obigen Tabelle entspricht. Durch lineare Substitutionen 



(9) v = Pl±l v =Ph±l 



w r'% + s ' ' ' r* x + s 



kann man immer die k in 0, co, + g, — g (in dieser Ordnung) 

 überführen. Die fraglichen nicht-linearen Gleichungen sind dann 



(io) m + bi) 2 + m - &) cföi + 9 2 ) + &i - fr- = o , 



wo X eine Constante ist (s. Öfversigt etc. 1893 p. 49, Gl. 24), 



26); g- = —, X = — \. Diese Gleichung enthält auch die ein- 



deutigen Fälle: für die 4 X- Werthe X x — co, X 2 = 0, X 3 =g, 

 A 4 = — g wird sie (wie man leicht findet) linear und zwar resp. 



