222 BRÖDEN, UEBER CORRESPONDENZEN AUF ELLIPTISCHEN CURVEN. 



was nur die Umkehnmg ist) eine Folge correspondirender Punkte; 

 die Corr. hat also die Periode 4; die 3-fache Iteration derselben 

 giebt eine Involution 4-ter Ordnung. Und sie hat offenbar 2 

 und nur 2 Doppelpunkte (ö l7 d 2 )'- die Berührungspunkte der 2 

 Doppelstrahlen. 



Wenn ferner () 1 . ö 2 den Restpunkt R haben, kann die frag- 

 liche C 3 -Corr. keine 2-deutige iÜ-St.-Corr. geben, weil Rö x ö 2 

 nur sich selbst entspricht (s. oben); offenbar bekommt man auch 

 keine neue St.-Corr. der Art 5); es muss also eine St.-Corr. 

 der Art 7) sein. Hieraus folgt, dass die Fälle 5) 6) und 7) 8) 

 C 3 -Correspondenzen von ganz derselben Art geben. Speciell folgt 

 also, dass die 4-periodische St.-Corr. 7) auch 4-periodische C 3 - 

 Corr. giebt (die 2:te Möglichkeit, 8-period. C 3 -Corr., also aus- 

 geschlossen): wenn O AB, OCD, OEF, OGB eine Reihe corre- 

 spondirender Strahlen ist, bekommt man mit dem Ausgangs- 

 punkte A die 2 Punktreihen ACEGA, ADEÜA. Der Fall 8) 

 giebt ja dasselbe. Ferner folgt, dass diese 2 C 3 -Corr. je 2 

 Doppelpunkte haben, welche resp. auf dem einen oder anderen 

 Doppelstrahle liegen, und dass diese 4 Punkte denselben Tangen- 

 tialpunkt haben, wozu noch kommt, dass die 6 3 -Tangenten, 

 welche in zusammenhörenden Doppelpunkten berühren, harmo- 

 nisch conjugirt sind zu den 2 anderen (kurz: in jeder Corr. die 

 2 Doppelpunkte »harmonisch vereint» sind). 



Die Tabellenfälle 5) bis 8) geben also 4 C 3 -Corr. mit je 2 

 Doppelpunkten; und jede dieser Correspondenzen erscheint aus 

 dem Tangentialpunkte eines Doppelpunktes als St.-Corr. der Art 

 5), aus dem Restpunkte der Doppelpunkte als eine St.-Corr. der 

 Art 7), und durch den Restpunkt geht auch die Verbindungs- 

 linie zweier correspondirender, harmonisch vereinter Punkte. 



Der Restpunkt 8 zweier anderer corresp. Punkte S } , S 2 

 muss aber als Centrum eine 2-deutige St.-Corr. geben mit 

 SS Y S 2 als Doppelstrahl. Anderseits existiren laut (10) höchstens- 

 2 zwei-deutige St.-Corr. mit einem gegebenen Doppelstrahl: 

 !i-c=§— A giebt 



4A 2 Ä 2 + (7t 2 — g 2 )- = , 



