226 BRÖDEN, UEBER CORRESPONDENZEN AUF ELLIPTISCHEN CURVEN. 



näher bestimmt, welche wir in den beiden Fällen dieselben sein 

 lassen). Ferner sind zufolge (1) und (2) y und y x rationale 

 Functionen von x resp. x x und denselben Quadratwurzeln, welche 



(IOC 



in (8) auftreten, also rationale Functionen von x und -j- resp. 



(hoc 

 x x und -~ , und die eindeutigen C 3 -Corr. reduciren sich zu- 

 folge (8) zur (?«, wJ-Relation u x ± u — C. Das obere Zeichen 

 giebt immer symmetrische Corr., das untere nur in den 3 Fällen, 

 da C kongruent mit einer halben Periode ist. Doppelpunkte 

 sind nur im vorigen Falle möglich. Der durch das ABEL'sche 

 Theorem beweisbare Satz, das v x + u 2 + u 3 = if geradlinige Lage 

 dreier Punkte v x , v 2 , v z bedeutet, 1 ) giebt das nähere über die 

 Lage correspondirender Punkte; — oder man kann umgekehrt 

 jenen Satz aus unseren vorigen Auseinandersetzungen bekommen. 

 Wie wir gesehen haben, ist doch nicht ohne jeder Aus- 

 nahme »die Gruppe der eindeutigen algebraischen Transforma- 

 tionen einer Curve in sich selbst damit erschöpft, dass einem 

 Elemente mit dem Argumente u das Element + u + C zuge- 

 ordnet wird»: 2 ) bei harmonischen Curven ist auch die Zuordung 

 u, = + iu + C möglich, bei aequianharmonischen u x =\ / j 2 u + C 

 und u x = Vj • u + C d. h. u x = ± ju + C, u x = ±j 2 u + C. Die 

 oben bewiesene Eindeutigkeit dieser Correspondenzen erfordert 

 zufolge der Periodicität der elliptischen Function, dass kongru- 

 ente u kongruente u x geben, und umgekehrt. Hieraus folgt so- 

 fort, dass wenn die Wurzeln einer Gleichung iü 4 (V) = ein 

 harmonischen resp. sequianharmonischen System bilden, eine der 

 Gleichung dx = du\' R^x) genügende elliptische Function x die 

 Eigenschaft hat, dass jede Periode derselben mit i resp. j multi- 

 plicirt (oder dividirt) wieder eine Periode giebt (womit ja sogar 

 die Unmöglichkeit einer einfachen Periodicität bewiesen ist). 3 ) 

 Hierauf verificirt man leicht die Cyclicität (Periodicität) der 



') S. z. B. Clebsch-Lindemann VorlesuDgen über Geometrie p. 605 — 607. 



2 ) A. Harnack Math. Annalen Bd. IX p. 42. 



3 ) Vgl. Poincare's (nicht einwurfsfreie) Darst. Acta Math. VII, 13 ff. 



