346 BRÖDEN, UEBER ZEUTHEN'S CORRESPONDENZSATZ ETC. 



Geschlecht = »Defect» in der Anzahl der Doppelpunkte (($) 

 und Spitzen (x), d. h. der für eine Curve derselben Ordnung 

 (/li) grösste mögliche Werth der Zahl ö + x um ihren wirklichen 

 Werth vermindert = i (f.i — 1) (/.i — 2) — ö — x; und 



Geschlecht = die um 1 verminderte kleinste mögliche Anzahl 

 beliebig gewählter Curvenpunkte mit der Eigenschaft, dass es 

 eine rationale Function von den Coordinaten x, y giebt, welche 

 in keinen anderen Curvenpunkten als diesen einen vorgeschrie- 

 benen Werth annimmt (z. B. unendlich wird). 



Die erste Definition hat nicht unmittelbar eine bestimmte 

 Bedeutung, wenn die Curve »höhere Singularitäten» besitzt, und 

 ist für diesen Fall in der That kaum anwendbar. Wenn die 

 Summe d +■ x etwas bestimmtes bedeuten soll, muss man wenig- 

 stens gewissermassen bestimmte Regeln haben, nach welchen man 

 die höheren Singularitäten mit gewissen einfachen äquivalent 

 betrachtet. Die Untersuchungen, welche mehrere Verfasser j 

 über solche Aequivalenzzahlen angestellt haben, kommen that- 

 sächlich auf folgendes hinaus: die Zahlen werden so bestimmt, 

 dass die bekannten PLÜCKER'schen Gleichungen immer ihre 

 Gültigkeit beibehalten, und überdies so, dass der in erster Hand 

 nur mit Bezug auf Curven ohne höhere Singularitäten bewiesene 

 Satz von der Gleichheit der Geschlechtszahlen zweier auf ein- 

 ander (1, l)-deutig bezogener Curven unbeschränkt gültig wird. 

 Man könnte hierbei für eine Curve mit höheren Singularitäten 

 die Gleichheit mit dem »Defect» einer (1, l)-deutig correspondi- 

 renden Curve mit nur einfachen Singularitäten als Definition 

 des Begriffes Geschlecht aufstellen — und dies wäre wohl, in 

 Betracht der Wichtigkeit jener Erhaltung bei eindeutigen Trans- 

 formationen, eigentlich das richtigste, (wenn mann überhaupt 

 Defect als Definition von Geschlecht benutzen will). Man hat 

 es doch wenigstens im allgemeinen vorgezogen sich auf folgende 

 Weise einzurichten (was sachlich ganz dasselbe ist): wenn y als 

 Function von x n-werthig ist und s »kritische Punkte» besitzt, 



') Zeutmen, Nöther, Brii.l, Cayley, Björling u. A. 



