ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1893, N:0 5. 347 



so lässt sich, falls die (an, ?/)-Curve keine höhere Singularitäten 

 hat, für das Geschlecht p die Gleichung 



(1) 2p = s — 2(n — l) 



leicht herleiten; diese Gleichung fasse man bei Anwesenheit von 

 höheren Singularitäten als Definition des Geschlechts auf, wobei 

 ein r-werthiges »Circulärsystem» für r — 1 kritische Punkte gilt. 



Die elegantere (von Weierstrass benutzte) zweite Defini- 

 tionsform (mit welcher die Erhaltung des Geschlecht bei jeder 

 birationalen Transformation unmittelbar gegeben ist), führt auf 

 dieselbe für die Berechnung des Geschlechts einer gegebenen 

 Curve unmittelbar anwendbare Formel (1). J ) 



3. Bei allgemeinen Untersuchungen über Correspondenzen 

 auf algebraischen Curven kann man sich so einrichten, dass alle 

 denkbare Fälle inbetreff der Singularitäten der Curve unmittelbar 

 berücksichtigt werden. Anderseits kann man, wenn nur solche 

 Verhältnisse in Frage sind, welche bei jeder (1, l)-deutigen 

 Transformation unverändert bleiben, von Curven mit höheren 

 Singularitäten in erster Hand absehen, da dieselben sich in 

 (1, l)-deutiger Beziehung zu Curven ohne solche Singularitäten 

 setzen lassen. Bei der folgenden Darstellung des Beweises des 

 ZEUTHEN'schen Satzes stellen wir uns auf den erstgenannten 

 Standpunkt, um so mehr als die Sache dennoch sich sehr einfach 

 gestaltet. Um völlige Allgemeingültigkeit zu gewinnen, machen 

 wir ferner keine beschränkende Annahme mit Bezug auf die 

 Coincidenzen der betrachteten Correspondenz : sie können in ir- 

 gend einer Weise zu »Coincidenzen höherer Ordnung» vereint sein. 



Zwischen zwei irreduciblen algebraischen Curven 



(2) f(x,y) = 0{C), 



(3) /i(-v,yi)M><&) 



besteht eine (£, §j)-deutige Correspondenz, wenn die Coordinaten 

 (x, y) und (x x , y x ) durch algebraische Gleichungen verbunden 

 sind, welche wenigstens bei beliebiger Lage des Coordinatensy- 

 steins zu folgender Gestalt gebracht werden können: 



') Vgl. G. Kobb, Några användningar etc. p. 49. 



