348 BRODÉN, UEBEB ZEUTHEN's CORRESPONDENZSATZ ETC. 



(4) é + Sß - !>(>! , yjat - l + R^-\x x , y x )a£ ~ 2 + . . . 



+ ÄW(*i, &)*■+ !*»(**, yi ) = 0, 



(5) y = S(x x , y l , x) , 



(6) «jÄ + Rfi ~ l \x, y)xfi - l + R t & - 2 >0, y^Si - 2 + . . . 



+ R^(x, y)x + R^(x, y) = 0, 



(7) ^ = £,(#, t/, #,), 



wo die jß und $ rationale Functionen bedeuten, die Gleichungen 

 (4) und (6) im allgemeinen § resp. £ x verschiedene Wurzeln 

 haben, und jedes den Gleichungen (2), (6), (7) genügendes Werth- 

 system (x, y, x x , y x ) auch den Gleichungen (3), (4), (5) genügt 

 und umgekehrt. 



Ein beliebiger »Zweig» der Curve C\ [=Functionselement 

 ( x i #i)] gi eDt zufolge (4), (5) £ Zweige von C [= Functions- 

 elemente (x, y)]. Aber einzelne C x -Zweige können eine kleinere 

 Anzahl C-Zweige geben, | — if\ Man setze 2rj w =rj, wo die 

 Summation zu allen derartigen C^ -Zweigen ausgedehnt werden 

 soll. Ebenso können specielle (7-Zweige weniger als £6\-Zweige 

 geben, g — rj x ^. Man setze lTj x (i) — r] x . Wenn die Geschlechts- 

 zahlen für C und C x resp. p und p x sind, so gilt die Relation: 



(8) rj - ni = 2&(p - 1) - 2SCP, - 1) • 



Dies ist der zu beweisende Satz. 



Unseren Annahmen zufolge muss die Elimination von x x 

 und z/ aus (2), (6), (7) und die Elimination von x x aus (3) und 

 (4) dieselbe Relation 

 (10) /oO, y,) = 



als Resultat geben. Diese Gleichung — oder die entspr. Curve 

 (7 — hat, falls sie irreducibel ist, ihre bestimmte Geschlechtzahl 

 p . Wir können p auf zwei verschiedene Weisen berechnen, 

 indem wir bei Benutzung der Formel (1) entweder x oder y x 

 als unabhängige Variable betrachten. Das Gleichsetzen der 2 

 so bekommenen Ausdrücke giebt die ZEUTHEN'sche Relation. — 

 Mit der Frage, ob die Gleichung (10) reducibel sein kann, brau- 

 chen wir uns nicht beschäftigen: die 2 p-Werthe, welche man 

 aus (1) bekommt, wenn man einerseit x anderseits y als unab- 



