ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 93, N:0 5. 349 



hängige Variable betrachtet, müssen auch für eine in r irredu- 

 ciblen Curven zerfallende (x, ?/)-Curve denselben Werth haben, 

 weil p in beiden Fällen die Summe der Geschlechtzahlen der r 

 Bestandteile um r — 1 vermindert bedeuten muss. 



Es sei also die Gleichung (10) vom Grade n in y x , vom 

 Grade m in x, und die Anzahl der kritischen Punkte für y x 

 als Function von x sei s , die kritischen für x als Function 

 von y x seien r n . Wir haben die Zahlen s — 2n + 2 und 

 r — 2m + 2 einander gleich zu setzen, d. h. die Gleichung 



(11) s — 2n = r — 2m 



zu bilden. Die 4 Zahlen s , n , r , m rt bestimmen sich folgen- 

 dermassen. 



Es sei die Gleichung (2) vom Grade n in y. Durch Eli- 

 mination von x x und y aus (2), (6), (7) bekommt man 



(i2) n n foi - «i(*. ^ *i (ow )] =o , 



wo y^ eine Wurzel von (2) ist, und #,©<#) eine entsprechende 

 Wurzel von (6). Die Gradzahl dieser Gleichung in y x ist n£, , 

 und die Wurzeln sind bei beliebiger Lage des Coordinatensystems 

 für einen beliebigen x- Werth sämmtlich verschieden ; (10) ist also 

 mit (12) identisch, und man hat w = ?i^. 



Die Anzahl s der kritischen Punkte einer beliebigen alge- 

 braischen Function y von x hat, genauer ausgesprochen, folgende 

 Bedeutung: jeder »Zweig» der (x, r/)-Curve hat die Form 



(13) x = d*> + t s(i \ y = Xt r(i) [l + p®(t)] , 



wo s (i) ganz und 2S ist, r (,) ganz und = 0, und p^\t) eine für 

 t = verschwindende Dignitätsreihe bedeutet; man hat 



(14) ,=2(i ^i-i), ■ 



wo | s w | den absoluten Betrag von s (i) bedeutet, und die Sum- 

 mation allen Zweigen mit | s m j > 1 gilt. Um die zu unserer 

 {x, ?/j)-Curve gehörende Summe zu bestimmen, verfahren wir 

 folgendermassen. Jeder Zweig der Curve C giebt eine gewisse 

 Anzahl C,-Zweige 



