350 BRODÉN, UEBER ZEUTHEN's CORRESPONDENZSATZ ETC. 



(15) x x = (f(t) , y x = \fj(t) , 



wo cp und \fj Potenzreihen bedeuten. Man nehme zuerst an, 



dass diese Reihen nur ganze (pos. od. neg.) Potenzen enthalten. 



Der 6-Zweig und ein C x -Zweig veranlassen dann offenbar einen 



C -Zweig 



x = x® + (#>, y x = i(^ m [l + p x ®(ß)] . 



Es ist nicht denkbar, dass dieser Zweig mittels ganzer Potenzen 

 einer Hilfsvariabel x = tß (ß ganze Zahl > 1) darstellbar wäre, 

 m. a. W. dass die Exponenten für t im Ausdrucke für y x einen 

 gemeinsamen Theiler (> 1) haben könnten, welcher auch in s (i > 

 einginge (selbstverständlich nehmen wir in (13) an, dass solches 

 nicht möglich ist). Denn jeder der ß t-Werthe, welche einen 

 gewissen Werth von tß geben, würde dann sowohl gleiche x als 

 gleiche y x geben, weshalb also in der Umgebung der betrachteten 

 Stelle x® unendlich viele #-Werthe nicht n'§ x verschiedene y x 

 geben würden, was gegen unsere Annahme streitet, dass die Cor- 

 dinatenrichtungen ganz beliebig sind, und solches folglich nur in 

 einer endlichen Anzahl von Ausnahmefällen eintreffen kann (s. 

 oben). Wenn nun bei sämmtlichen ^-Zweigen, welche dem ge- 

 gebenen C-Zweige entsprechen, (f und ip nur ganze Potenzen 

 von t enthalten, und also ein beliebiger zu jenem Zweige ge- 

 hörendem Werthpaar (x, y) nur mit je einem Paare (x x y x ) der 

 entsprechenden Zweige correspondirt, so ist offenbar die Anzahl 

 dieser Zweige = B x ; und da ferner jeder dieser Zweige zur ge- 

 suchten Zahl s den Beitrag | s (i > | — 1 liefert, bekommt man also 

 in alles den Beitrag £ x (\ s® | — 1). 



Wenn es dagegen unter den Cj-Zweigen solche giebt, bei 

 welchen y x nur durch gebrochene Potenzen von t sich darstellen 

 lässt, muss man, um einen solchen Zweig durch ganze Potenzen 

 einer Hilfsvariabel ausdrücken zu können, eine Substitution t = zß 

 machen. Man bekommt dann einen (7 -Zweig 



(17) x = ««> + iß&i y x = l x z^ {i) [l +p {i \x)] ■ 



Aus demselben Grunde wie oben kann man (natürlich unter der 



Voraussetzung, dass die ganze Zahl ß so klein wie möglich ge- 



