ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1893, N:0 5. 351 



nommen ist) nicht z7 = 6 substituiren, ohne gebrochene Expo- 

 nenten zu bekommen. Ferner gilt es wenigstens bei beliebiger 

 Lage des Coord. -Systems, dass auch die Function &, = cp{f) nach 

 der Substitution t = %ß von gebrochenen Potenzen frei ist: sonst 

 würde ja in unendlich vielen Fällen gleiche y gleiche y x und 

 verschiedene x x geben, was offenbar (vgl. oben) nur für besondere 

 Coordinatenrichtungen möglich sein kann; speciell muss also cp 

 nur ganze ^-Potenzen enthalten, wenn dies mit ip der Fall ist, 

 m. a, W. wenn ß=l ist. Jeder Werthpaar (#, y) im fraglichen 

 (7-Zweige giebt also ß Werthpaare (x x , y x ) im C x -Zweige. Hier- 

 durch wird die gewöhnliche Anzahl (B x ) entsprechender C x -Zweige 

 um ß — 1 vermindert. Anderseits bekommt die Zahl s vom 

 fraglichen C^-Zweige den Beitrag ß \ s® \ — 1. Jeder C x -Zweig, 

 welcher dem gegebenen C'-Zweige entspricht, hat nun seinen be- 

 stimmten /?-Werth, sei es ß=l oder ß>l; aber die Summe 

 aller dieser ß ist offenbar immer = £,. Die Zahl s bekommt 

 also von jedem C-Zweige den Beitrag I(ß \ s (i) | — 1) = | s (i) | 2ß — 

 die Anzahl der entsprechenden 6^ -Zweige = £j j s (i) J — (£, — r] x (i) ) 

 [die Summation gilt natürlich den verschiedenen C x -Zweigen]. 

 Also wird s = § x 2(\ s l \ — 1) + Stj^ wo die Summationen zu 

 sämmtlichen (7-Zweigen auszudehnen sind, oder m. a. W. zu den- 

 jenigen, für welche j s (,:) | > 1 oder i Ix {i} > ist (od. beide Sachen 

 stattfinden), folglich s = ^s + r] x . Weil ferner n = nB x war, be- 

 kommt man s — 2rc = § x (s — 2n) + r ix oder 



(18) *o — 2*o = £i@p — S) + m- 



Ganz analog muss anderseits 



(19) r -2m = $(2p i -2) + r 1 



sein. [Um die Herleitung völlig analog gestalten zu können, 



muss man sich denken, dass y als §-werthige Function von x x 



und y x , x als rationale Function von x x , y x und y dargestellt 

 sind.] 



Zufolge (11), (18), (19) wird 



(20) ri - Vl = 2Up - 1) - mPi ~ 1) ■ 

 w. z. b. w. 



