352 BRÖDEN, UEBER ZEUTHEN's CORRESPONDENZSATZ ETC. 



4. Wir gehen nun zu einer Anwendung der hergeleiteten 

 Identität auf die Involutionenlehre über. 



Man betrachte eine (n — 1, n — l)-deutige Correspondenz 

 auf einer Curve f(x, y) = (eine »Transformation der Curve in 

 sich») und nehme an, dass dieselbe symmetrisch sei, d. h. auf 

 folgende Weise sich darstellen lasse: 



(21) a)f(x,y) = 0, b) f(x x , yi ) = 0, 



(22) x x n - 1 + R (n _ 2) (#, y)x? ~ 2 + P Hn - »(*, yW ~ 3 + ■ ■ ■ + Ä (#> y)=0 , 



(23) y\ = E(x, y, x x ) , 



(24) x n - 1 + jRd _ 2 )(^i , 2/i>" ~ 2 + Ä(» - 3)(^r , y,)*" ~ 3 + • • • + Ä (ar, ,&)=<>, 



(25) y = R(x x , y x , x) . 



Die (#, y)-{x x , 3/,)-Corr. fällt dann mit der (#, , y x )-(x, y)-Corr. 

 zusammen. Man nehme überdies an, dass die Correspondenz an- 

 volutorisch sei, d. h. dass ein beliebiger Punkt P (1) und seine 

 ?i — 1 entsprechenden P (2) , P (3) . . . P (M) ein geschlossenes System 

 von nur einander entsprechenden Punkten bilden, m. a. W. dass 

 die Iteration der Transformation zu keinen neuen Punkten führt. 



Um die fragliche Anwendung des ZEUTHEN'schen Satzes auf 

 diese Correspondenzen machen zu können, müssen wir uns vor- 

 läufig etwas mit den Bedingungen beschäftigen, unter welchen 

 die Gleichungen (21) bis (25) eine involutorische Correspondenz 

 geben. 



Wegen Vergleichung betrachten wir zuerst eine Correspon- 

 denz auf einer Geraden. Dieselbe lässt sich durch eine einzige 

 Gleichung 



(26) V - 1 + U n _ 2 (tf)V - 2 + U n _ 3 (x)x x » ~ 3 + . . . + U (x) = 



darstellen, wo TJn — i etc. rationale Functionen von x sind. Wenn 

 diese Corr. involutorisch sein soll, muss jeder der n — 1 x x - 

 Werthe, welche einem gewissen x entsprechen, in (26) statt x 

 eingesetzt, als .^-Wurzeln die n — 2 übrigen jener ^j-Werthe 

 und ausserdem das ursprüngliche x geben. Oder m. a. W.: die 

 Gleichung (26) giebt, mit x x — x multiplicirt. eine Gleichung 

 der Form 



(27) x x n + S n _ !(#) • xf- 1 + S n - 2 (x) • x x n - 2 + . . . + S (x) = , 



