ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1893, N:0 5. 353 



welche ganz dieselben x x -Wurzeln giebt für x = einer beliebigen 

 Grösse h und für x = irgend einem der n — 1 von h verschie- 

 denen a^-Werthen, welche diesem h entsprechen. In allen n 

 Fällen muss folglich jede der rationalen Functionen *S denselben 

 Werth annehmen und also, falls sie nicht konstant ist, wenig- 

 stens die »:.te Dignität von x enthalten. Da ferner zufolge der 

 nothwendigen Symmetrie der Gleichung (27) in x und x x höhere 

 <£-Dignitäten als x n nicht vorkommen können, und anderseits 

 natürlich nicht alle Coefficienten konstant sein können, so muss 

 wenigstens eine der Functionen aS, es sei S t , x n aber keine hö- 

 here Dignität enthalten (kurz: x im Grade n enthalten). Und 

 ferner muss die Gleichung 



(28) S i (x 1 )-S i (x) = Q 



ganz dieselbe sein wie (27), weil sie ja die n A'j-Werthe (incl. x) 

 giebt, für welche S i (x 1 ) = Sj{x) ist. 



Diese Bedingung ist aber auch hinreichend.: wenn es ein 

 Coefficient Si(x) giebt, für welche die entsprechende Gleichung 



(28) mit (27) identisch ist, so liegt eine Involution vor. Es ist 

 nämlich offenbar, dass jede Gleichung der Form (28), wenn Si(x) 

 eine beliebige rationale Function bedeutet, eine Involution giebt: 

 die Gleichung ist nicht nur symmetrisch in x und x x , sondern 

 es gilt auch, dass zwei x y , welche zufolge der Gleichung dem- 

 selben x entsprechen, auch einander entsprechen, weil sie ja der 

 Function Si denselben Werth geben. 



Es ist sogar gewöhnlich, dass man den Begriff Involution 

 in einem rationalen Gebiete so definirt, dass zwei #-Werthe zu 

 derselben involutorischen Gruppe gehören, wenn sie einer ratio- 

 nalen Function denselben Werth geben, oder was dasselbe ist, 

 dass jeder Ä-Werth in einer Gleichung 



(29) R 1 (x) — lH 2 (x) = [#,, R 2 ganze Funct.] 



eine involutorische Gruppe von A'-Werthen giebt. Die Involu- 

 tion tritt dann als aus einer (1, n)-deutigen Correspondenz her- 

 geleitet hervor. 



