354 BEODÉN, UEBER ZEüTHEN's CORB.ESPONDENZSATZ ETC. 



Im Anschluss hierzu machen wir ferner, mit Rücksicht auf 

 unsere jetztige Aufgabe, auch folgende Bemerkungen über die 

 Involutionen im rationalen Gebiete. Man sieht leicht ein, dass 

 (27) auf unendlich viele Weisen in der Form P(x x ) = P(x) sich 

 darstellen lässt. Die rationale Function P braucht nämlich nicht 

 == einem der Coeff. S sein, sondern kann eben so gern eine be- 

 liebige symmetrische Function der n Wurzeln von (27) [rationale 

 Combination der Coefficienten] sein, welche nur die Bedingung 

 erfüllt, vom Grade n in x zu sein (ein niedrigerer Grad ist 

 übrigens wie für die Coefficienten selbst nicht möglich, falls die 

 Function sich nicht zu einer Constante reducirt). Und alle diese 

 rationale Functionen sind ferner lineare Functionen von einer 

 beliebigen unter ihnen. Wenn nämlich P x (x) und P 2 {x) zwei 

 der fraglichen rationalen Ausdrücke sind, so soll ja sowohl die 

 Gleichung P x (x) — l für jeden 2-Werth, als P 2 (x) = /li für jeden 

 f.i eine Gruppe derselben Involution geben. 'Folglich müssen die 

 n Wurzeln von P x = l in P 2 = /.t eingesetzt denselben /i-Werth 

 geben, und umgekehrt. . Durch Elimination von x zwischen den 

 fraglichen Gleichungen muss man also eine lineare Relation 

 zwischen X und f.t bekommen, und es existirt also eine solche 

 zwischen P x und P 2 , w. z. b. w. Umgekehrt ist offenbar jede 

 (nicht constante) lineare Function von einem der fraglichen 

 rationalen Ausdrücke selbst ein solcher Ausdruck. 



[Speciell sind also die nicht constanten Coefficienten S selbst 

 lineare Functionen von einem rationalen Ausdrucke der fraglichen 

 Art P(x). Man kann auch leicht finden, wie sich die Coeffici- 

 enten dieser linearen Relationen mittels der in P eingehenden 

 Coefficienten bestimmen: für 



( 3fft P( t\ — nX,n + ^ n -i^'" -1 + • • • + A x x + A Q 



yov) ^x } ß ^ n + ßn _ ia «-i +mmm + BiX+Bo 



wird der CoefF. von x x l in P(x x ) — P(x) = Q 



