ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 189 3, N:0 5. 355 



Wir wenden uns nun zu der Frage, ob die Involution (27) 

 — sie heisse kurz I n — in einer Involution von höherer Ord- 

 nung k — sie heisse J k — als Bestandtheil eingehen kann. I k 

 und I n seien bestimmt durch die Gleichungen 



(32) ®{x x ) = ®(x) resp. cp{x l ) = (f(x) , 



wo die rationalen Functionen Q) und (p x im Grade k resp. n 

 enthalten. Zwei „r-Werthe, welche zu derselben /„-Gruppe ge- 

 hören, sollen auch in derselben /„-Gruppe eingehen, d. h. zwei 

 verschiedene x, welche denselben <jp-Werth geben, sollen auch 

 denselben O geben, oder m. a. W.: die Gleichung 



(33) ri[*-0O (O )] = O, 



i = l 



wo # (1) , x {2) . . . x M die ^-Werthe sind, welche einem beliebigen 

 q9-Werth y entsprechen, soll nur einen ^-Werth geben. Aber 

 die Coefficienten in (33) sind symmetrische Functionen von x w , 

 x( 2} . . . .r (n) , also rationale Functionen von y. Folglich muss z 

 eine rationale Function von y sein, d. h. eine rationale Func- 

 tion von cp 



(34) ®{*) = (>[?(*)]■ 



Umgekehrt giebt offenbar jede Function W(x) von der Form 

 (34) eine Involution, in welcher /„ eingeht. 



Die Gradzahl in x einer rationalen Function von cp{x) ist 

 ein Multiplum von n, d. h. k ist = r?i (was auch mehr unmittel- 

 bar eingesehen werden kann, vgl. unten). 



Die Gleichung 



(35) dv(*Ä=a 



reducirt sich auf 



(36) [cp{x)Y + Z^^Or)]'-! + L m _ 2 [cf(x)Y-z + . . . + Z n = , 

 wo Xi r —i etc. lineare Functionen von X sind, oder 



(37) {(fix) — (ft] [(f,(x) — qp 2 ] . . . [cp(x) — (f r ) = . 



Jeder Factor giebt eine /„-Gruppe (die ganze Gleichung eine 

 Tfc-Gruppe). Setzen wir dagegen 



(38) drt*)]=efo(*i)], 



