356 BRODÉN, UEBER ZEUTHEN's CORRESPONDENZSATZ ETC. 



so bekommen wir die Involution I k als eine (x, .^-Relation der 

 Form 



(39) [cp(x) - cp{x x )} {[(f(x)Y^ + X r ^[cp{x)Y-^ + . . . + Z } , 



wo X r _ 2 etc. rationale Functionen von (f{x x ) sind. Der erste 

 Factor giebt I n . Die ganze Gleichung muss aber natürlich für 

 k = o[(f(x 1 )] dieselbe sein wie (36), und wir können sie auch in 

 der Form 



(40) [cp(x) — cp{x x )] [(p{x) — (f(x 2 )] . . . [(p{x) — cp{x r )] = 



schreiben, wo (p(x x ) = q) J ist, und x 2 • • • x r Wurzeln der Gleich- 

 ungen (p(x) = cp 2 , . . ,cp(x) — cp r sind. 



5. Wir kehren nun zu unserem eigentlichen Gegenstande 

 zurück. Auf ganz analoge Weise wie oben sieht man ein, dass 

 die nothwendige und hinreichende Bedingung für involutorischen 

 Charakter der Correspondenz (21) bis (25) so ausgedrückt wer- 

 den kann: wenn 



(41) x x n + S n _ x (x, y)x x n ~ i + S„_ 2 (x, y)x x n ~ 2 + . . . + S (x, y)=0 



die mit x 1 — x multiplicirte Gleichung (22) bedeutet, und P(x, y) 

 eine (nicht konstante) symmetrische Function der n Wurzeln 

 von (41) ist, so muss die Gleichung 



(42) P(x 1 ,y l )-F(x,y) = 



mit (21, b) kombinirt eine Relation zwischen cc, y, x x geben, 

 welche entweder zu Identität mit (22) oder zu einer Gleichung, 

 welche (22) in sich enthält, zufolge (21, d) sich reducirt. Das 

 vorige trifft ein, wenn die rationale Function P(x, y) vom Grade 

 n ist in dem Sinne, dass sie in n verschiedenen Punkten auf der 

 Curve f(x, y) = einen gegebenen Werth annimmt, das letztere 

 wenn ihre Gradzahl > n ist. Aber es lässt sich nun nicht 

 zeigen, dass immer symmetrische Functionen vom Grade n exi- 

 stiren; m. a. W.: es giebt Involutionen, deren Gruppen nicht 

 das vollständige bewegliche System von Schnittpunkten zwischen 

 f{x, y) = und einem Curvenbüschel P(x, y) — X ausmachen 

 (obgleich umgekehrt jedes solches Schnittpunktsystem offenbar 

 eine Involution bildet). 



