358 BRODÉN, UEBER ZEUTHEN's CORRESPONDENZSATZ ETC. 



welche je einer /„-Gruppe entsprechen, und dass also die Invo- 

 lution I n durch eine Gleichung 



(44) x n + & Ä _ia»~i + L n - 2 x n ~* ■+-... + Z = 



repräsentirt werden kann, wo L«_i etc. gewisse algebraische 

 Functionen von /. sind. Im allgemeinen ist wenigstens eine 

 dieser Grössen (£,-) eine r-werthige Function von X, und die 

 übrigen sind dann nothwendig rationale Functionen von X und 

 Li (das allgemeinste ist sogar, dass alle L r-werthig sind und 

 linear von einander abhängen). In speciellen Fällen ist es denk- 

 bar, dass kein L r-werthig wäre, obgleich das ganze System 

 L ..-.Ln—i r-werthig ist. Aber man kann dann immer eine 

 ?--werthige rationale Function M des Systems bilden, von welcher 

 jeder L rational abhängt. Oder allgemeiner: das System l, 

 i , ...Z„_i bildet eine einfach unendliche Mannigfaltigkeit in 

 einem im allgemeinen (n + l)-dimensionalen Räume; man bilde 

 — um der Kürze wegen eine geometrische Ausdrucksweise zu 

 üenutzen — successive Projectionen der »Raumkurve» in Räumen 

 von niedrigeren Dimensionen, bis man auf eine gewöhnliche irre- 

 ducible ebene Curve F(t, u) = gelangt; diese steht dann in 

 (1, 1)- "autiger Beziehung zur (l, L , . . . Z„_i)-Curve. 



6. Wir können nun die angedeutete Anwendung des Zeu- 

 THEN'schen Satzes machen. 



äe Curve f(x, y) = (C) habe das Geschlecht p. Die 

 Cur 3 F(t, u) = (Cj) — wo t und u im allgemeinen l und L t 

 bedeuten können — habe das Geschlecht jh ■ Zwischen diesen 

 ( en besteht eine auf folgende Weise vermittelte (n, l)-deutige 

 Correspondeuz. Ein beliebiger Werthpaar (x, y) giebt nach der 

 Gleichung P{x, y) = l einen einzigen A-Werth und anderseits 

 auch ein bestimmtes System £ ...Z n _ x , weil der gegebene 

 .'unkt {x, y) zu einer bestimmten /„-Gruppe gehört, und also 

 eine bestimmte Gleichung der Form (44) x als Wurzel hat, 

 Folglich sind t und u rationale Funktionen von x und y. Ein 

 Werthpaar (t, u) giebt aber ein einziges System l, L , . . . Zr n — i 

 und also nach (44) n verschiedene x, und jeder .v-Werth giebt 

 zufolge P(x, y) = l und f(x, y) = einen einzigen y-Werth, y 



