ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1893, N:0 5. 359 



ist also rationale Function von t. t u, x (wenigstens wenn, wie 

 wir immer annehmen, die Coordinatenriclitungen beliebig sind). 

 Bei Anwendung der Formel (20) haben wir also £ = w, £1 = 1* 

 rji = zu setzen und bekommen also 



(45) 7i = 2p + 2(w — 1) — 2np x 

 oder 



(46) p t = ^ ^-* • 



Die Zahl rj bedeutet kurz die Anzahl der Coincidenzen in der 

 (x, y)- (t, w)-Correspondenz, und dies will offenbar nichts anderes 

 sagen als die Anzahl der Doppelpunkte (Coincidenzen) unserer 

 Involution. Unser Resultat ist also, dass die Anzahl (rj) der 

 Doppelpunkte einer Involution w:ter Ordnung auf einer Curve 

 vom Geschlechte p den Werth (45) haben muss'; aber von der 

 Zahl p l wissen wir vorläufig nur, dass es eine ganze, positive 

 Zahl oder Null sein muss; wir können also die Zahl 2p + 2(n — 1) 

 als Maximiwerth für die Anzahl der Doppelpunkte bezeichnen. 



Eine interessante Specialfolgerung von (46) ist, dass /; nicht 

 = sein kann, wenn nicht n als Factor in p — 1 eingeht, also 

 z. B. nicht für n = 2 und gerades p (für n = 2, p = 1 giebt es 

 bekanntlich Fälle 77 = 0). 



Anderseits kann rj den Maximiwerth nicht erreichen, ohne 

 dass Pi = ist; dies trifft immer ein, wenn r = l ist, wie man 

 sehr leicht findet. Die /„-Gruppen bilden dann das vollständige 

 System von Schnittpunkten zwischen f(x, y) = und einem 

 Curvenbüschel, und man hat nach dem BRiLL-NÖTHER'schen 

 Satze die Coincidenzzahl 2(n — 1) + 2p. 



— Die aufgestellte Relation (45) dürfte als einen nicht un- 

 wichtigen Satz in der in mehreren Hinsichten wichtigen aber 

 noch ziemlich unbearbeiteten Theorie der Involutionen auf nicht- 

 rationalen Curven bezeichnet werden können. Auf anderer Stelle 

 hoffe ich ausführlicher zu dieser Theorie zurückkommen zu können. 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. 1893. Arg. 50. N:o 5. 



