ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1893, N:0 6. 409 



a 2 — 2a 2 

 är således i verkligheten alltid negativ. Det måste alltså finnas 

 några imaginära rötter till ekv. (4), och i själfva verket synas 

 i regeln alla rötterna vara imaginära, om s är ett udda tal, 

 och alla rötter utom en imaginära, om s är ett jämt tal. 



För att bestämma rötternas läge beräkna vi samtliga stor- 

 heterna a,, — , — , ..., -^^ , och beteckna den minsta bland 



<X-y C&2 a s — 2 



dem med a,; på grund af definitionen är således 



a q+l — a A a q >Q, (^ = > l.i v- •> s — 2; a = l). 



Multiplicera vi nu ekv. (4) med k — ct x , blir 



k s + (a x — a^k*- 1 + (a 2 — c^a,)^ -2 + ■ • • 



+ (a s _ i — a, a s _ 2 )k — ctj a s _ i = , 



och substituera vi här (j(cos cp + i sin cp) i stället för &, hafva 

 vi att bestämma q och cp ur de tvä ekvationerna 



p*cos s<£> -f («i— otj)^ -1 cos (s—Y)cp + (a 2 — (%a,])(| i— 2 cos (s— 2)r/> + 



. . . + (o^-i — a,a s _ 2 )(> cos 9) — aj^_i = , 



Q s &'ms(p + (a 1 — a 1 )(>* _1 sin(s — l)y + (a 2 — a 1 a,)^ _2 sin (s — 2)qp + 



. . . + (a s _i — a 1 a*_ 2 )(> sin cp — . 



Nu är det emellertid lätt att inse, att om £<aj, så kan den 

 första af dessa ekvationer ej äga bestånd, hviiket värde man än 

 gifver åt cp. Då nämligen alla storheterna a x — a 1? a 2 — a x a x , 

 ..., a s _i — a 1 a s _ 2 enligt definitionen på a x äro positiva, kan 

 vänstra ledet i denna ekvation aldrig för något värde af cp vara 

 större än 



Q s + ( a i — «i)?* -1 + ( a 2 — a i a i)( )S ~~ 2 + • • ■ 



+ (a s _x — a 1 a,_ 2 )() — cc l a s _i 



hviiket uttryck äfven kan skrifvas 



Q'~Kq — a i) + a ]p' -2 (? — «]) + ••• + a« -2(>(() — a t ) + a, _ x ((> — a Y ) ; 



men detta uttryck är alltid negativt, så snart q<. a t , och uttrycket 



q s cos sep + (aj - oij)^ -1 cos(s— l)qp + (a 2 — « ] a 1 )o s-2 cos(s — 2)qp + 



. . . + (a,-i — a 1 a,_ 2 )(> cos <jp — a,a,_i 



