450 KOCH, SUR LA DIVISIBILITÉ DES FUNCTIONS ENTTÉR.ES. 



et proposons-nous de trouver les relations entre les a et les b 

 qui sont nécessaires et süffisantes pour que \p{x) et F(x) pos- 

 sédent un facteur com man de degré s (s étant un entier positif 

 donné <m). 



A cet effet, soient 



m quantités arbitraires que nous supposerons d'abord différentes 

 entre elles. Si l'on définit m quantités nouvelles 



-^o ' A\ , • • • i J ^-m — \ 

 par les m équations linéaires: 

 F(x i )=A 



F(x 2 ) = A Q + A x {x 2 — #j) 

 ; F(x 3 ) = A + A x {x' z — x x ) + A 2 (x 3 — x x ){x z — x 2 ) 



(1) 



F{x m ) = A + A x {x m — x 1 )+ ... A m - l (x m — x A ){x m — x 2 ) . . . 



on aura 



y— i 



Ay— i — 



I , x^ , 



, <- 2 ,^ r ) 



± , ,.'l' w , , . . . , <£ , f\X m ) 



1 , *, , 



, 3?. 



. , X 



(J / = 1, 2, 



ou, ce qui est la meine chose, 



A v _ ] = -^- + ^A-2^. + 



+ 





(?' = 1, 2, 



m) 



<jp r (#) désignant la fonction suivante: 



cp v (x) = {x — x } ) (x — x 2 ) . . . (x — x v ) . 



D'apres ces formules, on voit t'acilement qu'on peut poser 



Ay — i = 6\X-y , X 2 i • • • i My) (v = 1, 2, .... m) 



en désignant par e(x 1 , x 2 , . . . , x v ) une fonction entiére par 

 rapport aux x x , x 2 , . . . , #,, ayant pour coefficients des poly- 

 nömes entiers, ä coefficients rationnels, par rapport aux b. Ces 

 fonctions 6 jouissent d'ailleurs de la propriété suivante: 



