452 KOCH, SUR LA DIVISIBILITÉ DES FUNCTIONS ENTIÉRES. 



(3) e(x l ) = , d(x l , x 2 ) = , . . . , 6(x l , x 2 , . . . , x s ) = 

 soient vérifiées. 



On s'en assure immédiatement dans le cas oü toutes les- 

 racines de ty{x) sont distinctes, car, dans ce cas, les équations 



(3) sont, en vertu des formules (1). équivalentes aux suivantes 



F\*i) = 0, F{x 2 ) = 0, ..., F(x s ) = 0. 

 Si toutes les s racines x t j x 2 , . . . , x s ne sont pas dis- 

 tinctes, nous désignerons par 



(4) y-ij y 2 ; ■ • • , y, 



ces racines rangées dans un ordre tel que Ton ait 



V\= ■■■ =.ya=¥ya + i= ■ ■• =yß^=- ■•3=yi + i = •• • =y*> 



autrement dit, nous désignerons par y 1 , y« + 1 , yß+\ , ■ • ■ ■> yx+ i 

 celles des racines (4) qui sont distinctes, par z/j , y 2 , . , . , y a 

 Celles qui sont égales a t/j , par y« + 1 , y« + 2 , • • • ■> yß celles 

 égales a y« + 1 et ainsi de suite. 



D'apres ce que nous avons vu, les relations (3) peuvent 

 étre remplacées par celles-ci: 



(ß) KVi) = Q r %i 7 ?h) = ° » •'■•/» ö (#i > #2 ' • • • . ^) = ° 

 puisqu'on peut passer des x aux ?/ par une permutation conve- 

 nable. Or, en vertu de la formule (2), on a, pour yi=y 2 = • - - 

 =y tt : 



«(yi > y*.* ■■■> #*) = , y _i ~ 



Les « premieres des formules (5) peuvent donc étre rem- 

 placées par les suivantes: 



(6) nyi)=o, n.yi)=o, ..., f^-%0^0- 



On a de meine, pour y a + \=ya + i= ■ ■ ■ —yß' 



Qv—a — \ 



ö (y t 1 y 2 , • • • > y> ; ) = a y - g -x %i » y 2 > ■ • • v y« + 1) . • 



(v = a + 2, .... /3> 



Or, en vertu des relations (1) et des a premiéres des relations 

 (5), on obtient 



. , _ F(y a + 1 ) . 



te,y 2 , ■■■^« + ^- { y a + l -y l){ y a + ,-y 2 )...{y a + l -y a y 



