568 LINDMAN, BEVIS FÖR NÅGRA MATEMATISKA SATS KR. 



samt betänker, att man har 



(1 — e"Y = — 2(1 — Cos x) (Cos x + i Sin .r), 

 (1 — e~ ") 2 = — 2(1 — Cos x) (Cos x — i Sin a-), 



så finner man 

 j'=» — i 



Ss(ri — v) (Cos rx + ?' Sin r#) = 



v=l 



(n — l)(Cos x + i Sin #) — «(Cos 2x + i Sin 2x) + Cos (ra + l)x + i Sin (n + l)x 

 2(1 — Cos x) (Cos « + i Sin #) 



n — 1 — w(Cos x + i Sin #) + Cos nx + i Sin w,,? 

 2(1 — Cos x) 



Svw — i') (Cos nr — i Sin r.r) = 



(w — 1) (Cos x — i Sin x) — r<(Cos 2x - i Sin 2a') + Cos(n+ l)x — i Sin (n + l),r 

 2(1 — Cos x) (Cos # — i Sin lä?) 



w — 1 — n(Cos x — i Sin x) + Cos nx — i Sin nx 



2(1 — Cos a?) 



Om dessa formler adderas och summan divideras med 2, så 

 fås efter liten reduktion 



"=«-i Sin — 



Sn 2 



O — v) Cos nr = — ^ + — --^- . 

 i'=i 2 Sin -g 



Detta är just den framstälda formeln. Om de samma formlerna 

 subtraheras och skillnaden divideras med 2i, så fås 



v=n — 1 



n Sin x — Sin nx 



S^(?' — ■ v) Sin vx — 



4 Sin — 



Prof. Beltrami har i Grunerts Archiv, Th. XLVII, sid. 

 3fi2 gifvit formeln 



s 



2 'ån 



Are t£ -„ = 



