600 BENDIXSON, SUR LE CALCUL DES INTEGRALES d'üN SYSTEME ETC. 



Le Systeme d'integrales prenant pour x = x (a < x < b) 

 les valeurs finies y l0 , . . . , y no , est déterminé par M. Picard de 

 la maniére suivante. 1 ) 



On déterminé d'abord par des quadratures les fonctions 

 y u , ..., y nl , satisfaisant aux équations 



~j~ — Jy\ x ) l/io > • • • > J/»oJ "=i, ■ ■> » 



de maniére qu'elles prennent pour ^?=^ les valeurs ?/ 10 , ...,y m . 

 Ayant forme ensuite le Systeme d'equations 



dy rl __ r / \ 



~T— — Jv\% i U\\ i ■ • • 5 Vn\) v = \, ..., « 



on déterminé y i2 , . . . , t/ W2 par la condition qu'elles prennent 

 pour x = x les valeurs y 10 , . . . , #„ . 



En continuant ainsi, on déterminera, toujours par des qua- 

 dratures, les fonctions y x i , . . . , y n i de maniére qu'elles satis- 

 fassent aux équations 



~T~ —JA® j V\l — l 5 • ■ • i VnX— i) y=l, ..., w 



et que ^ prenne la valeur ?/,, pour x = x . 

 Les series 



CO 



(2) y v =yvo + / li/ri+i —yvi] v =\, ..., » 



représentent alors un Systeme d'integrales des équations (1), 

 tant que l'on a 



1 



X — X n ■< — vr 



# étant en outre compris dans l'intervalle a . . . b. 



Pour ces meines valeurs de x les series (2) sont uniformé- 

 ment convergentes. 



En supposant des fonctions f x , . . . , f n , qu'elles soient po- 

 sitives pour toutes les valeurs de x , y x , . . . , y n assujetties aux 

 conditions 



') E. Picard »Traité D'Analyso. Tome II, page 301. 



