ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 93, N:0 9. 601 



a < X < b 



et qae ces fonctions croissent quand ?/, , . . . , y n augmentent, 

 M. PlCARD fait voir que les series (2) sont nécessairement con- 

 vergentes pour chaque valeur de x dans 1'intervalle (a, b), mais 

 la question qui s'y rattache intimeraent, å savoir, si les series 

 (2) représentent les integrales des équations (1) pour toutes ces 

 valeurs de x, n'y est pas résolue par lui que dans le cas oii les 



dérivées ~ vont toujours en décroissant, quand 1'une des quan- 



tités y { , . . . , y n augmente. 



Dans le cas, au contraire, ou f\, . . . , f n vont en décroissant 

 avec y x , . . . , y n , il déraontre que les quantités y V 2i+\ ont une 

 limite y et les quantités y v2 x en ont une y"; et son opinion est 

 méme que ces deux limites peuvent étre distinctes. 



Cela n'est pourtant nullement le cas. Dans les pages sui- 

 vantes je me propose d'etablir que les series (2) sont dans tous 

 les deux cas uniformérnent convergentes, tant que a<x<-b et 

 représentent pour toutes ces valeurs de x les integrales du Sy- 

 steme {T). 



1. Pour parvenir å ce resultat nous connnencerons par démon- 

 trer un théoréme sur les series uniformérnent convergentes qui 

 nous sera utile. 



»Si /j(#), fi(&), ...f,,(x), ... sont des fonctions continues 

 toujours positives (ou toujours negatives) pour chaque valeur de 

 x comprise entré a et b, et si la serie 





f v (x) 



v=l 



est de plus une fonction continue de x pour ces meines valeurs 

 de la variable, la serie est uniformérnent convergente pour toutes 

 ces valeurs de x.» 



Pour fixer les idées nous supposons que les fonctions f v soient 

 toutes positives. 



