602 BENDIXSON, SUR LE CALCUL DES INTEGRALES d'üN SYSTEME ETC. 



Ayant fixe un norabre positif å aussi petit que Ton voudra, 

 on peut toujours y faire correspondre un nombre entier positif 

 m(x), tel que 



00 CO 



v = m(x) r = m(.v) — 1 



11 existe alors une limite supérieure finie ou infinie M pour les 

 valeurs que prend m(x), quand x varie entré a et b. Nous 

 voulons démontrer que M est nécessairément un nombre positif 

 fini. 



On sait en effet qu'il existe au moins une valeur a comprise 

 entré a et b, teile que la limite supérieure de m(x) pour x situé 

 entré a — e et a -!- e est toujours égale ä M, s étant une quan- 

 tité positive aussi petite qu'on voudra. 



Déterminons alors q de maniére que 



et je dis qu'on aura M < q. 

 Car la fonction 



£/,(.^ 



V = q — 1 



étant une fonction continue, on peut déterminer un nombre 

 positif £, tel que 



oo oo 







V = q— 1 V-q— 1 



ce qui nous donne 



< ^ quand | h \ < s 



1" 



,{a + h) < (5 



V = q~ 1 



pour ces mémes valeurs de //. 



Le nombre q est donc plus grand que M, ce qui établit 

 notre théoréme. 



