ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1893, N:0 9. 603 



2. Ce théoréme nous permettra de traiter le premier cas 

 étudié par M. Picard, ou les fbnctions* f v (se, y x , ..., y n ) sont 

 finies, continues et positives pour toutes les valeurs de x, y x , 

 . . . , y ni tel les que 



a ^x<.b 



— oo <?/,,< + CO 



et vont en croissant, quand 1'une quelconque des quantités y x , 

 ... . , y n augmente. INous admettons de plus que 



df v 



2=1, .:., n 



dy i 



pour ces mémes valeurs de x, y x , ..., y n , mais il n'est pas 

 nécessaire d'admettre, corame le fait 1'éminent géométre, que 

 les dérivées partielles vont en décroissant. 



Observons d'abord avec M. Picard qu'en sachant que les 

 series (2) sont uniformément convergentes, quand 



nous pouvons étendre nos integrales de proche en proche dans 

 tout 1'intervalle (a, b), ce qui met en évidence que les integrales, 

 prenant pour x = x les valeurs ?/ ]0 , ..., y„o , restent finies et 

 continues dans tout cet intervalle. Désignons ces integrales par 



De 1'équation 



^ =M X . V™ , • • - , yno) > v =\,...,n 



on conclut que y r \^>yvo V om A '>- r o> ce ( l u ^ nous donne 



./VO , yw , • • • , ym)>f>{a , j/io , • • • , y n o) ■ 



Comme on sait alors que 



djyvi — y n) ^ 

 ax 



on aura 



yv2>yv\ 



et en general 



yro <yn < • • • <yrl <■■ ■ pour x > x . 



