604 BENDIXSON, SUR LE CALCUL DES INTEGRALES d'üN SYSTEME ETC. 



Mais quand x — -^o^ ~~ at? ^ a Hniite des ^,,2(^=00) est égale ä 



(f v (x), ce qui nous fait voir que (f r (x) est alors ~>y v o- En 

 continuant de proche en proclie, on voit que cp r (x) reste toujours 

 ~>yvo quand x>x . 



On aura de la nieme maniere cp v {x)<^y v o pour x <ix . 



L'equation 



dx f^ x ' #iC*)> •■■■> <?»(#))— /v(>, #10, • ••, 2/«o)>0 



nous donne cp r ^>yv\ pour #^>-ar ;. 



En continuant ainsi on aura 



(p v {x)>y v i ;.=i, 2..., ^ ^x^6. 



II est donc evident que les series (2) sont convergentes. 



Nous voulons maintenant prouver que les series sont unifor- 

 mément convergentes, tant que l'on a x <x<ib. D'apres le 

 théoréme du N° 1 nous n'avons pour ca qu'a prouver qu'elles 

 représentent des fonctions continues pour toutes ces valeurs de x. 



Mettons y v l = (Pi;}.i. x \ on sa ^ ( l ue 



m 



[<jPrÄ + lO + Ä) — (fr).(x + h)] --\[(fvl+l(fB) — <f'rX(^)] = 



;.=o 



» ^ ftpVa 



4 +1 (# + eA) — qf)Vi(« + eh)] < d < 1 



= ä / fv[® + öä, qpi2(« + eh) , . . . , (jp„^ + eh)] — 

 2=0 

 — /„[a? + eh , qpü _ x{x + eh), . . . , gw _ i(x + eh)] . 



Mais en observant que qi r x — (f v l-\ > 0, on aura la valeur 

 absolue du membre droit moindre que 



m 



\h\- N\[yu(x + eh) — ym-iix + eh) + ... 



2=0 



+ cpnl(x + eh) — qp„2 - 1(# + «/*)] 

 c'est a dire moindre que 



| h | • A 7 [yi m (.^ + eK) — 2/10 + • • • + <jp™»0 + öä) — y n o] 



