606 BENDIXSON, SUR LE CALCUL DES INTEGRALES d'üN SYSTEME ETC. 



on conclut que tous les termes de la serie sont positifs, ce qui 

 fait voir que 



S d{yri + i—y v x) 

 dx 

 2=0 



est une serie uniformément convergente. Elle est do-nc égale ä 

 ~ , ce qui établit 1'équation 



-J^ =f v {x , y x , . . . , ij n ) quand x < x < b . 



D'une maniere tout analogue la demonstration se fait quand 

 a < x < x . 



Notes avons donc yyrouvé que les series (2) sont uniformé- 

 ment eonvergentes et représentent les integrales du Systeme (1), 

 quand a<ix<Lb. 



Dans l'autre cas traité par M. Picard, ä savoir quand les 

 fonetions f x , . . . , f n vont toujours en décroissant, quand y } , y. 2 , 

 . . . , y n augmentent, on peut parvenir au méme resultat par une 

 méthode tout analogue, mais on doit observer que la demonstra- 

 tion se fait alors ä l'egard de chaeune des series 



CO GO 



t/n + / {yv2l+\ — yvil - 1) et y w + \ (y r2 ?. — y v il - 2) • 



;.=u ;.=o 



3. Pour le cas general oü nous ne faisons d'autres sup- 

 positions å l'egard des fonetions f v que celle de 



dfv 



dyi 



— co <y v < + co 



les difticultés sont considérables, si l'on veut traiter ce cas d'une 

 maniere analogue. On peut pourtant surmonter ces difticultés 

 en ayant recours au procédé employé par Cauchy et M. Weier- 

 strass, quand les fonetions données f v sont des fonetions ana- 

 lytiques. 



On commence par étudier les développements en serie des 

 integrales d'un Systeme speciale d'equations différentielles, et c'est 

 en y comparant les développements (2) du Systeme general qu'on 

 établit leur convergence. 



