608 BENDIXSON, SUR LE CALCUL DES INTEGRALES d'uN SYSTEME ETC. 



Theoreme. 



Étant donné un Systeme d'equations différentielles 



dy v 



dx 



=f y {x , y, , . . . , y n ) 



v=l, .., 



ou les fonctions f t , . . . , /„ sont finies et continues pour toutes 

 les valeurs de x ' , y x , ...,?/„, assujetties aux eonditions 



a < x < b 



— oo<*/,, < + co r=l,2,...,n 



et ou nous admettons de plus qiiil existe un nombre positif jini 

 N, tel que 



dfr 



<N v=1 >- 

 1=1, .. 



pour ces mem.es valeurs des variables, les series 



00 



y v =y v o+ > [yvi+i—yvi] r=i, 



l 



sont uniformément convergentes pour les valeurs de x comprises 

 entré a et b et représentent pour ces valeurs un Systeme d'inte- 

 grales prenant pour x = x les valeurs y 10 , . . . , y n o- 



La demonstration se fait sans aucune difficulté. Comparons 

 en effet les deux systemes de series qu'on obtient en appliquant 

 la méthode d'approximations successives de M. PlCARD aux deux 

 systemes d'equations 



4z =M* » VX » • • • i Vn) et 4i =N(Z X +Z 2 + ...+Z n ) 

 dX UilL '' = 1) • • • i n 



et choisissons les valeurs z w , . . . , z„.o toutes positives et telles 

 que N(z w + . . . + z n0 ) est plus grande que la limite supérieure 

 de toutes les fonctions f v {x , y i0 , ■ ■ , y n o) P our a<.x<b. 



Pour fixer les idées, nous démontrerons d'abord que les 

 series (2) sont convergentes, quand on aura x <.x<.b, le cas 

 ou x < x se traitant de la raéme maniére. 



On aura alors 



—fa, — M A > yio , • • ■ , y n o) 



