610 BENDIXSON, SUR, LE CALCUL DES INTEGRALES d'uN SYSTEME ETC. 



chaque integrale de cette équation peut étre développée en une 

 serie uniformément convergente dans chaque domaine fini de la 

 variable x, tandis que les développements en serie, procédant 

 suivant les puissances positives de la variable, ne donnent la 

 valeur de 1'intégrale que pour un domaine bien limité. Pour s'en 

 assurer ou n'a qua écrire la dite équation sous la forme suivante- 



dx~^ 2 



dy n 



dx * n 

 fyn = P\i x )yn + Pi(x)y n - 1 + ■ ■ • + pn{?)y \ 



dx Po( x ) 



et on voit tout de suite que ce Systeme satisfait aux conditions 

 énoncées dans notre théoréme, a et b étant ici des nombres 

 réels quelconques. Pour les équations linéaires M. Fuchs est 

 parvenu au méme resultat dans son traité »Sur le développement 

 en series des Integrales des équations différentielles linéaires» 

 Annali di Materaatica Serie II, T. IV, mais les développements 

 en series donnés par lui sont tout ä fait différents de ceux de 

 M. Picard. 



4. Envisageons enfin un Systeme d'equations différentielles 



-^ = Me , y\ , • • • , y») 



ou. nous ne faisons d'autres suppositions quant aux fonctions f v 

 que celle qu'elles sont, ainsi que leurs dérivées par rapport a 

 y Y , . . . , y n , des fonctions continues de x , y x , '-. . . y n , tant que 



a < x < b 



c r^yv1^.d r ,/ = i, 2, ...,n 



et soit A 7 la limite supérieure des fonctions 



dfr 



dyx 



v=l, 



1=1, 



pour ces ra em es valeurs des variables. En comparant les series 

 (2) aux series correspondantes du Systeme d'equations (3), oü 



