613 



ÖfVersigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1893. N:o 9. 



Stockholm. 



Om trådkurvor. 

 Af H. Petrini. 



[Meddeladt den 8 November 1893 genom M. Falk.] 



Definition. Om man tänker sig en böjlig, otänjbar tråd, 

 lagd öfver en plan sluten kontur och spänd medelst ett stift, 

 som rör sig i en sluten bana, hvilken omger den gifna konturen, 

 så skola vi i det följande kalla denna bana för den gifna kon- 

 turens trådkurva. 



Om sådana kurvor har Crofton ') med geometrisk sannolik- 

 hetskalkyl strängt bevisat följande sats: 



Betecknas kurvans och trådens längd med L och L resp., 

 konturens synvinkel från den rörliga punkten med to samt ett 

 element af planet vid den rörliga punkten med J, så är 



f sin io J = Z(L — L) 



där integrationen utsträckes öfver den mellan de båda kurvorna 

 befintliga ringformiga ytan. 



Ett analytiskt bevis för satsen synes endast vara gifvet för 

 det fall, att den gifna konturen är en ellips. 2 ) I det följande 

 skall satsen analytiskt bevisas i dess allmängiltighet, och på 

 samma gång skall uppvisas, hurusom man på den här inslagna 

 vägen med största lätthet kan härleda äfven andra integral- 

 formler, som äro lika generella som den Croftonska. 



') Phil. Trans. 1868, sid. 181—199. 



2 ) E. B. Elliott: Educ. Times, bd. 26 sid. 79 ff. 



