Unimodulare, lineare Substitutionen. _ 95 
e«o+ß 
yo+ 6 
Grundsubstitutionen 
über, wenn man auf © in richtiger Reihenfolge die beiden 
(a:0+1) und (oi) 
o 
endlich oft anwendet. 
Dieser Satz kann einfach mittels Kettenbrüche bewiesen 
werden, wie schon seit längerer Zeit bekannt ist; z. B. vergl. 
Klein, Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie.t) Allein Klein hat 
seine Entwicklung nur für spezielle Fälle der Vorzeichen und 
Grössenverhältnisse von «a, ß, y, 6 durchgeführt. Der allgemeine 
Fall lässt sich in der dortigen Weise nicht so elegant erledigen. 
Ganz anders verhält es sich, wenn man eine andere Art Ketten- 
brüche einführt, die allerdings den Fall &ö-ßy=-1 ganz aus- 
schliessen, die dafür aber eine Anwendung in der Theorie der Mo- 
dulfunktionen gestatten. Minkowski?) hat von einem ganz andern 
und viel allgemeinern Gesichtspunkte Kettenbrüche behandelt, die 
die hier gegebenen und die gewöhnlichen verbinden. 
In 1. werden die Kettenbrüche allgemein definiert; in 2. 
auf rationale Zahlen angewendet und etwas erweitert; 3. bringt den 
obigen Fundamentalsatz und 4. die Anwendung auf die Modul- 
funktion 7 (w). 
1. Es sei ® eine positive oder negative reelle Zahl = 0, 
und a, die kleinste ganze rationale Zahl >w. Dann ist 
1 
© = Go — at wo 91 > 1. 
L 
1 
Ebenso sei, falls &, + ©, a, die kleinste ganze rationale Zahl 
@, und 
IV 
1 TZ 
@ =dı = ——, Wo | = 
2 ee 
3 
In der Weise fährt man fort: 
il | a 
DO = A) zx 
1) Ausgearb. von Sommerfeld, Göttingen 1896, p. 29 u. ff. 
2) Minkowski: Ueber die Annäherung an eine reelle Grösse durch 
rat. Zahlen. Math. Ann., Bd. 54, p. 91 u. ff., 1901.. 
