Unimodulare, lineare Substitutionen. 97 
was nur bei rationalen Zahlen ©, dann aber immer eintritt, so ist 
die Entwicklung nicht mehr eindeutig. In der Tat kann man 
dann in der Kettenbruchentwicklung von 2 an Stelle von a 
Ô m 
setzen : 
dm = Am + 1 = 
À 
i 
wo beliebig viele Nenner 2 eingeschaltet werden können. Berechnen 
wir auch hierfür die Näherungsbrüche. Es ist: 
| P + 1= (am +1) Pn- Pm-1=8+Pm 
| Om +17 (am +1) On - Om - 1=5 + On 
| Pn +2 — 2 Pın +17 Pn=2B+Pm 
| On +2 =? On + 1= Om=25 + Om 
| Py + r=t8t+lm 
| Om +r-! + lm 
Nehmen wir (ze — 1) mal den Nenner 2. so wird 
|Fm+z+1=-Pn+r Pm+r-ı=B (4) 
| Omtr+ ı=Om+i- Omt+tr- 1=0 
Wir setzen 
a=Pm+T8=lPm 
m Hart |. dann ist @ö-ßy=+1 (6) 
= OImtrd=Om+r | 
Hieraus folgt der Satz: Es sei P,,, Q die Grundlüsung von 
26 —yB = 1, und 
a = Py +TB | 
7 = Om + | 
wo ı jede beliebige positive Zahl sein kann. Dann kann man 
also aö-Ay-1 
den positiven oder negativen Bruch E stets so in einen endlichen 
Kettenbruch entwickeln, dass der letzte Näherungsbruch ,, der vor- 
letzte — ist. 
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3. Diesen Satz verwenden wir zur Lösung unseres Problemes. 
Es seı s-(55) eine beliebige unimodulare Substitution. Da 
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