110 O. Spiess. 
Die Gleitsehne einer Z-Kurve halbiert also stets deren 
Peripherie. 
SO: 
Wir müssen uns hier versagen, in das Studium dieser 
„Z-Kurven“, deren Existenz wir erwiesen haben, näher einzudringen. 
Es soll hier bloss noch auf die Bedeutung hingewiesen werden, 
die diese Kurven für die Funktionentheorie besitzen. Diese Bedeu- _ 
tung beruht auf einem merkwürdigen Zusammenhang zwischen der 
Gleichung einer solchen Kurve und einer gewissen Funktional- 
gleichung. 
Betrachten wir nämlich die Koordinaten (x, y) eines Punkts 
einer Z-Kurve als Funktionen des Bogens s, und bilden wir daraus 
die neuen Funktionen 
(1) f(s)=x(S) +iy(s); f(S)=x(S) 17 (S) 
so besteht zwischen diesen offenbar die Beziehung 
ax\?  /dy\’ 
(2) rGi-fs(8= (5) + =1 
Es gilt nun der Satz |: 
Die Funktionen f,(s) und f,(s) sind Lösungen der Funk- 
tionalgleichung 
f(s)-f(s+]) 1 
n Es L))-f@)]? 4m 
Darin bedeutet 1 den halben Umfang der Z-Kurve, und 2h 
die Länge der Sehne, die diesen Umfang halbiert. 
Beweis. Da der Bogen, der die Enden (x, y), (x, y) der Sehne 
verbindet =] ıst, so kann man schreiben 
zes (Se), Fey (CEE) 
Wir haben nun zunächst wieder die Gleichungen des $ 2 
hinzuschreiben 
&) x=É+hE X=£-hF 
an 0, Y=7-h7 
(2) E?+n?=1, woraus 
(6) en 
Aus (5) und (6) berechnen wir leicht 
(7) ge+ye-(T) DC TC) 
6) (7) 
S 
( 
(9) (&) - id re il 
Aus (4) ergibt sich mit Hülfe von (5) 
