Ueber eine Klasse von Kurven. 111 
Fassen wir f, und f, die sich bloss durch das Vorzeichen von 
1 unterscheiden, unter dem Zeichen f zusammen, so gelten die 
Gleichungen 
10) Ee)=s@tin)+h@tin); f(s+1)=(&+i9)-h(&’ tin‘) 
(1) LE(S + D -f(s)?=4h2(€ + in‘)? 
(12) Dr ‘ Ze = =) NE (5 ee, oder nach (8) 
Schreibt man noch £’(s) für so erhält man aus (11) und 
af 
ds’ 
(12) unmittelbar die obige Funktionalgleichung (3). 
Der bewiesene Satz lässt sich aber auch umkehren und lautet 
dann: 
Satz Il: Sind Fils), Fels) 2 Lösungen von (3) zwischen deren 
Ableitungen die Beziehung (2) besteht, so wird durch die 
Gleichungen 
a3) er u) a 
a 
als Ort des Punktes (x, y) eine Z-Kurve definiert. 
In der Tat, multipliziert man die beiden Gleichungen, die 
aus (3) für f—f, und f=f, entstehen, mit einander, so folgt 
wegen (2) ohne weiteres 
Kst) - ol [fo(s +1) — f,(5)] = 4h? 
Durch Einführung von x, y und x=x(s+]), y—y(s+1) geht 
diese Gleichung über in 
(14) (X-x)?+(J-y)?=4h? 
welche aussagt, dass die Sehne, welche die durch den Bogen 1 ge- 
trennten Punkte (xy) und (x y) verbindet, die konstante Länge 
2h besitzt. Der Ort des Punktes (xy) ist also eine Z-Kurve. 
Ist es an sich interessant, dass die unendlich vielen Z-Kurven 
aus Lösungen derselben Funktionalgleichung (3) entspringen, so 
verdient diese Gleichung doch ganz unabhängig davon Beachtung. 
Der Ausdruck auf ihrer linken Seite hat nämlich die Eigen- 
schaft, in sich über zu gehen, wenn f(s) durch eine lineare Funk- 
tion von f(s) ersetzt wird, d.h. wenn wir zur Abkürzung setzen 
f(s)-F(s+]) 
= ol 
Kery-rop Fi 
so gilt 
ab \ 
(15) cird 1 |=[£; 1s 
