112 O. Spiess. 
Man bestätigt dies leicht durch Rechnung. Der Grund liegt 
übrigens in folgendem. Sind s, si, $>, $; unabhängige Variable, 
so bleibt der Ausdruck 
f(s)-f(8) f(S3) -f (5) 
2 s)-f(s)) fis)- 16@,) 
als Doppelverhältnis gegenüber einer linearen Transformation von 
f invariant, ebenso no alle Ausdrücke, die aus ihm durch 
Differenzieren nach den Variablen hervorgehen. Differenziert man 
nun den Ausdruck (16) nacheinander nach s, und s; und setzt 
nachher 
9—8, Sa — 81) Sy —SsHtl 
so erhält man gerade den Ausdruck [f; 1], dessen Invarianten- 
natur dadurch klar wird. 
Die Gleichung (3) ist also ein Analogon zu der Differenzial- 
gleichung dritter Ordnung, die in der Theorie der automorphen 
Funktionen eine Rolle spielt. Ist f eine partikuläre Lösung von 
af+b 
cf + d 
terer Lösungen. Doch wird durch eine solche Schar bei weitem 
nicht die Gesamtheit der Lösungen geliefert. Wie wir gesehen 
haben, führt ja jede Z-Kurve (bei passender Wahl der Konstanten) 
zu 2 neuen Scharen. | Dass f, und f, nicht der gleichen Schar an- 
gehören können, ergibt sich leicht aus (2)]. Die Lösung der 
Funktionalgleichung stellt deshalb doch ein ganz anderes Problem 
vor als die der entsprechenden Differenzialgleichung. 
(3), so erhält man in eine dreifach unendliche Schar wei- 
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Der Umstand, dass jede analytische Kurve mit einer un- 
geraden Anzahl von Spitzen zu einer Z-Kurve und damit zu 
einer Lösung der Funktionalgleichung führt, erlaubt es, an ein- 
zelnen Beispielen den Charakter solcher Lösungen zu studieren. 
So liefern die einfachsten Z-Kurven, nämlich die Gerade und der 
Kreis, die beiden partikularen Lösungen f (s)=a-s und f (s)—e*® 
Im ersten Fall ist ersichtlich I=h, und dies ist der einzige Fall, 
in dem die Funktionalgleichung ein algebraisches Integral besitzt. 
Alle andern Lösungen sind transzendent. Wir geben zum Schluss 
ein Beispiel, das sich ohne grosse Rechnung durchführen lässt. 
Wir definieren die Gleitkurve ® durch die Gleichungen 
S 
Er 1) cos (n-1)8 
n +1 n-1l J 
sin(n+1)# sin(n-1)# 
| n + 1 n-1 | 
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