75 



Ofversigt iif Kougl. Vctenskaps-Akadcuiiens Föi'liamlliiigiir 18(!7. N:o 2. 



Några konseqvenser af Cauchys theorein om kontinu- 

 erliga funktioners differenser. 



Af A. G. Theorell. 



[Medcleladt den 13 Februari 1867.] 



Följande satser följa så omedelbart ur nämnda theorem eller, 

 om man så vill, ur det Taylorska, att de förmodligen långt för 

 detta blifvit observerade. I så fall har man emellertid ej tillagt 

 dem någon större vigt, ty de finnas åtminstone ej i de vanliga 

 läroböckerna i differentialkalkyl. De förefalla dock författaren 

 af denna lilla uppsats att ha ett visst intresse, och han fram- 

 ställer dem för det fall, att andra skulle dela denna hans åsigt. 



Låt X, A'i , £^2 . . . x.,^ vara de valörer af en qvantitet x, 

 som bestämma differensen af ordningen n af en funktion f(x), 

 och ponera att denna jemte sina n första derivator är kontinu- 

 erlig mellan x och x^, och låt differenserna af x vara sins- 

 emellan lika. 



Derföre är ziy(x) eller z/""" f(x + Ax) — /f~ f(x) = 

 =/(^„_i + Ax) + (1 _n)/(A;_2 + Ax) + (1 — n).2f{x,^^+Ax) 

 + . . . + (1 - n),^_J{x + Ax) - (/r„_0 + (1 - n)f(x^_,) + 

 + (1 - ^02/G^n-3) + . . . + (1 — n)^_J(x) 



, ,, \i,i 1 — n 2 — ?i3 — M ;j — n 



der (1 — n) betecknar — - — • — - — • • • -. 



1 2 3 7J 



Men som denna expression är en funktion af Ax, hvilken 

 enligt vårt antagande är kontinuerlig mellan noll och Ax, och 

 som är noll för valören noll på Ax, så är hon lika med pro- 

 dukten af Ax med en valör på hennes derivata i afseende på Ax^ 

 hvilken svarar mot någon uiedelvalör ^ till noll och Ax. 



