76 ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR, 186 7. 



Således är 

 z/y(^) = Ja; f/'(.^„_i + ^) + (1 - n)fXx^_, + |) + 



• + (1 - n)J\x^_. 4- s^) + . . . + (1 - n\_J'{x + |)]- 



Under det gjorda antagandet är således 



(1). zrf{x) = /ixzi-y{x^^\ 



om z/"~ betecknar partiel differens i afseende på x, m. a. o. ej 

 har afseende på ^. 



På samma sätt är 

 A^-'fXx + I) = Ax A"-Y(x + I + ^,) = ^^ A'-'fXx + 2^J 

 och således Ay{x) = Ax' A^'Yix + 2^. 



I allmänhet, om p är uågot helt tal mindre än n, är 



(2). AJix) = Axr>A''-y% + p g. 



Således är äfven AJix) = Ax^~'^Af'~^{x + (n — l)^,^_i), 

 hvaraf 

 (3). AJix) = AxY\x + n&Ax). 



Häraf följer att, under antagande att differenserna af x 

 äro sinsemellan lika och att / och hennes derivator äro kontinu- 

 erliga i granskapet af x, 



^"/(x) („) 



Af vår sats följer äfven, att om en funktions derivator af 

 alla ordningar ända till en viss n äro noll för en valör a, och 

 funktionen jemte alla derivatorna äfven är kontinuerlig t. o. m. 

 ordningen n, så äro funktionens differenser af de n första ord- 

 ningarne för denna valör, om de bestämmas af lika differenser af 

 den variabla, alla qvantiteter af samma ordning. 



Ty låt p vara något helt tal mindre än ??. 



På grund af det antagna är 



A"/(a) = Ax>f"\a+peAxy, 

 men efter alla derivatorna ända till den af ordningen n äro noll 

 för a, så är 



