A. G. THEOEELL, OM FUNKTIONKliS DII'1'EllENSKIl. 77 



Derföre är 



■^-^^""^ ^ 1.2. 3..»-// ^"^ "^ P©!-^-*')' 

 Således är /j /(a) åtminstone af ordningen n, och således 



icke af lägre ordning än /l"f{a). 



Ponera nu en funktion / af två qvantiteter x och y, och att 



han jemte sina derivator i afseende på x och y är kontinuerlig, 



och låt differenserna hos x vara sinsemellan lika, och de hos y 



sinsemellan. 

 Derföre är 



Alfix, y) = Zlx"f^\x + n^, y) 



och således 



^:i7(^% y) -= ^^'4f^\^ + ^^^' y) 



hvaraf 



(4). z/::;/Gt', y) = /lx'^zJy>^f^:^;\x + n|, y + pn). 



Af denna sats får man ett bevis för satsen att f'{^, y) = 

 f" (■??, y) åtminstone för det fall, att / och hennes derivator äro 

 kontinuerliga. 



Ty i det fallet är 



^!,/(^^ y) = ^^^yfi}.^ +'^^y + n) 

 ^IJ(^^ y) = ^y^^^flC" + ^1' 2/ + ni)- 



Efter 



4/G'^, y) = ^Ji"^^ y) 



så måste således 



fl^j^x +'§, y + '»]) = f[^{x + 1^, ^ + »^0 

 och således dessa qvantiteters limites äfven vara lika, eller 



Låt nu en funktion / af två qvantiteter x och y jemte sina 

 derivator af alla ordningar till och med en viss n vara kontinu- 

 erhg, ponera differenserna af x lika sinsemellan och de af y 

 sinsemellan, låt z/y(^, ?/) beteckna differens i afseende på både 



