Über die Kroneckersche Grenzformel für reelle quadratische 

 Körper und die Klassenzahl relativ-Abelscher Körper. 



Von 

 E. Hecke. 



Bekanntlich spielen die Dirichletschen Reihen 



f{s) = 2' (p(m, n)~ s , (1) 



m,n 



wo q>(m, n) = am 2 + bmn + cn 2 eine positiv definite quadratische Form 

 mit ganzen Zahlkoeffizienten ist, in der Theorie des imaginären 

 Zahlkörpers Jc^'b 2 - 4 ac) eine grosse Rolle. Die Summation ist in 

 (1) über alle ganzen Zahlen m, n zu erstrecken mit Ausnahme des 

 Systems 0, was durch den Akzent an dem Summenzeichen an- 

 gedeutet sei. Nun weiss man, dass diese Reihen, als Funktionen 

 von s betrachtet, eindeutige analytische Funktionen mit dem Pole 

 5=1 sind, also eine Entwickehmg 



f( s )=^- + A + Ä 1 (s-l) + --- 



besitzen. Der Koeffizient A_ v das Residuum, ist bereits durch 

 Dirichlet bestimmt worden, durch seine klassische Methode zur Er- 

 mittelung der Klassenzahl des Zahlkörpers. Zu den schönsten Ent- 

 deckungen Kroneckers gehört die Bestimmung von^l . Es ist ihm 

 gelungen — sogar für den allgemeinen Fall, dass die Form (a, b, c) 

 beliebige reelle Koeffizienten mit 5 2 - 4ac <o hat — eine Darstel- 

 lung von A zu geben, in der als wesentlicher Term der Logarithmus 

 der elliptischen Modulfunktion ?/(co) auftritt, wobei das Argument 

 o) (oder — co) Nullstelle der Funktion <jp (<y, 1) ist. Die Bedeutung 

 dieses Resultates liegt zunächst darin, dass hier die Zahlentheorie ein 

 Prinzip zur Konstruktion interessanter analytischer Funktionen 

 liefert. Die ganze Theorie der linearen Transformation der ^Funktion 

 lässt sich aus dieser sog. Kroneckerschen Grenzformel entwickeln. 

 Sodann aber enthält für den Fall ganzzahliger a, b, c diese Formel 

 den Kern der Beziehungen zwischen elliptischen Funktionen und 

 imaginär-quadratischen Zahlkörpern, welche als „Theorie der kom- 



